Шпоры по дискре (2 семестр)

32. (1 из 1) Подгруппы конечных циклических групп.

33. (1 из 1) Фактор-группы циклических групп.

Пусть -циклическая группа, . Тогда - циклическая подгруппа.

Доказательство:

Пусть и – минимальное натуральное число такое, что (где ).

Покажем, что . Пусть (т.к. H – подгруппа G) и , . Тогда , но по выбору (т.к. , но -минимальное натуральное число такое, что ) (в элементов).

Случай рассматривается аналогично. #

Любая фактор группа циклической группы - циклическая.

Доказательство:

Пустьи т.ч. - гомоморфизм. Тогда по теореме об эпиморфизме .

Покажем, что - циклическая.

Пусть и . Тогда . #

34. (1 из 2) Порядок элемента группы и прямые произведения циклических групп.

34. (2 из 2) Порядок элемента группы и прямые произведения циклических групп.

Пусть G – группа. Тогда минимальное нат. число k. Такое, что называется порядком элемента а и обозначается ord a. (если такое k существует), где е – ед. элемент группы G.

5º. Пусть - циклические группы и - внешнее прямое произведение (конечное).

Тогда:

1) G – циклическая группа НОД()=1

2) Если НОД()=1 и , то .

Доказательство:

G – циклическая группа , где.

Но .

Тогда .

Но и .

Кроме того, .

Таким образом и , т.е. п 1) и 2) доказаны.

Следствие:

Пусть G – циклическая группа. , - простое число.

Тогда (внешняя прямая сумма циклических групп ).

Доказательство:

По свойству 5º группа H – циклическая. Кроме того, . #

35. (1 из 2) Группы подстановок.

35. (2 из 2) Группы подстановок.

Определение

Подстановка на множестве М – любое биективное отображение. - множество всех подстановок на М. Далее, будем считать, что

Утв: - группа, относительно операции композиции биективных отображений.

Элементы симметрично группа подстановок – подстановки - подстановки .

, где , где

Пример:

1) n=3

- тождественная подстановка

…

2) Умножение подстановок

Утв: Пусть , тогда

Доказательство:

Пусть , где

. #

биективно и гомоморфизм (док. самим)

36. (1 из 1) Теорема Кели.

37. (1 из 1) Разложение подстановок в произведение независимых циклов.

Теорема

Пусть G – группа, , тогда и такое

Доказательство:

Рассмотрим и

G – группа

( - подстановка, т.к. )

Покажем, что - иньективно.

Пусть , т.е , т.е. - иньективно.

Докажем теперь, что - гомоморфизм.

Рассмотрим – группа, т.к. - гомоморфизм.

, т.е. #

Пример:

Опр:

а) и - цикловая запись подстановки g, если , (- длина цикла)

б) Подстановка, состоящая из неодного единичного цикла, называется циклом [- цикл]

в) циклы и независимы, если

Опр: Подстановки независимы, если любая пара цикловнезависима.

Пример:

38. (1 из 1) Цикловая структура подстановки и ее порядок.

39. (1 из 1) Представление подстановок в виде произведения транспозиций. Четные подстановки.

Опр: Пусть наз. цикловой структурой постановки g - , где - число циклов подстановки g длины i. Причем .

Пример:

- условная запись. Грубо говоря, сообщает, сколько циклов (b) длины a.

Проверка соотношения

Св-во3: Пусть .

а) g – цикл длины k. Тогда . (Цикловая структура данной подстановки )

б) g имеет циклическую структуру , тогда

(т.еесть НОК делителей циклов)

◄а) Наглядно:

б) Пусть - представляем в виде произвед. независ. Циклов.

Тогда, т.е.,

►

- циклическая структура

Опр: Пусть- цикл длины r называется транспозицией. (обозначение: )

Утв: Любая , n>1 есть произведение транспозиций.

◄Представим g в виде произв. Независ. циклов, т.е.. Рассмотрим цикл. Непосредственной проверкой убедимся, что . Кроме того ►

Опр: подстановка-четная, если g – есть произведение четного числа транзакций.

40. (1 из 1) Критерий четности подстановки. Знакопеременная группа.

41. (1 из 1) Системы образующих симметрической группы.

Опр: наз. знакопеременной группой, состоящей из четных перестановок.

Св-ва: , ; то .

Утв: Пусть и - циклическая структура g. Тогда g – четная - четно

◄]- представление g в виде произв. независ. циклов. Но

представимо в виде транспозиций.

Но

►

Теорема: порождается каждым из множеств^

а)

б) (n-1 шт.)

в) (n-1 шт.)

г) (2 шт.)

◄а) доказано ранее

б) (i,j)=(1,1)(1,j)(1,i)

в) (1,i)=(1,2)…(i-1,i)(i-2,i-1)..(1,2)

г)и т.д. ►

42. (1 из 1) Системы образующих знакопеременной группы.

43. (1 из 1) Подкольца и идеалы кольца. Критерий подкольца. Полкольцо порожденное множеством.

Теорема2: порождается цикламидлины 3.

◄, k-четно. Покажем, что представимо в виде произв. циклов длины 3. Рассмотрим случаи:

а) i,j,k,l – все различны. (i,j)(k,l)=(i,j,k)(l,k,i)

б) i,j,k – различны

1) l=i : (i,j)(k,l)=(i,j)(k,i)=(i,j,k)

2) l=j : (i,j)(k,l)=(i,j)(k,j)=(i,k,j)

в) (i,j)(i,j)=е. Но ►

Опр: K(+,*) – кольцо. K₁(+,*)<K(+,*)- подкольцо, если

а)

б) K₁ – кольцо. Критерий подкольца

Опр: Подкольцо наз-ся идеалом, если(левый, правый, духсторонний).

Обозначается

Св-во1:

Св-во1:

Опр: Пусть -кольцо. Тогда наз-ся подкольцом, порожденным мн-м М.

- идеал, порожденный мн-м М. Вообще говоря, ,

Опр: - главный идеал, если (порожден одним элементом)

(K- кольцо главных идеалов, если- главный)

Утв.: Гомоморфный образ кольца (поля) есть кольцо (поле)

44. (1 из 1) Кольцо вычетов по модулю натурального числа.

45. (1 из 1) Кольцо многочленов над полем. Деление с остатком.

Def: Если на множестве Z задано отношение x Ξ y(mod m)m l (x-y), (x,y,m Є Z) и если заданы операции «+» и «*», т.ч.

{k}_m+{l}_m={k+l}_m

{k}_m*{l}_m={k*l}_m , где {k}_m – класс вычетов по m, {k}_m=k+mZ={r+mk : k Є Z}, то Z_m(+,*) называется кольцом классов вычетов по модулю натурального числа m. x Ξ y(mod m) означает, что при делении на m x и y дают одинаковые остатки.

Кольцо многочленов над полем

Пусть P – поле. Послед-ть т.ч. среди содержится конечное число ненулевых элементов наз-ся многочленом над полем P. Мн-во всех многочленов над P обозначим P[x].

На P[x] рассмотрим опреации:

1)

2) , где

Легко видеть, что P[x](+,*) является коммутат. кольцом с единицей.

Замечание. Пусть x=(0,1,0,…)

x²=(0,0,1,0,…)

x³=(0,0,0,1,0,…)

…….

x²=(0,…,0,1,0,…)

Тогда представим в виде , для некоторых

Опр: степенью многочлена наз-ся номер послед-го ненулевого элемента в

Опр: Многочлен a(x) делится с остатком на b[x], если , т.ч.

1)

2)

Замечание: если P-поле, то деление с остатком имеет место (т.е. q(x) и r(x) однозначно определены)

46. (1 из 1) НОД многочленов.

47. (1 из 1) Алгоритм Евклида вычисления НОД.

Опр: , где не все равны нулю, если:

а)

б) если - общий делитель, то

Утв:

1) , т.ч. среди а(х),b(x) есть многочлен, ,

2) Пусть d(x) = НОД(a(x),b(x)), тогда множество всех НОД а(х) и b(x) совпадает с

Заметим, что если d(x) = НОД(a(x),b(x)), то cd(x)=НОД(a(x),b(x)), с Є Р

Если , то и

Пусть. Рассмотрим последовательность действий

Т.к. имеет место посл-ть строгих неравенств относительно степеней многочленов, то . Покажем, что. Легко видеть, что

. Пусть d – любой общий делитель

48. (1 из 1) Расширенный алгоритм Евлида.

49. (1 из 1) Гомоморфизмы колец. Теорема об эпиморфизме колец.

Утв: . Тогда т.ч.

◄Док-во сводится к рассмотрению при n=2. См док-во пред Утв. По алгоритму Евклида: ►

Гомоморфизм колец

Опр: Пусть -отношение эквивалентности на кольце K(+,*). соласованно с операциями на К, если оно согл. с «+» и «*»

Утв: отнош, согласованное с опер. на кольце К (0-нулевой эл-т K, ед. эл-т относ. «+»)

[аналогично для групп]

Утв(Теорема об эпиморфизме колец):

Пусть - эпиморфизм колец. Тогда

1)

2)

(, 0 – ед. эл-т относительно «+»)

K

(только если I - идеал)

[аналогично для групп]