11. Логика предикатов. Предметный язык логики предикатов.

Логика предикатов (кванторная теория) – это логическая теория, язык которой позволяет анализировать высказывания и умозаключения с учетом их логической структуры.

Итак, приступим к заданию алфавита языка логики предикатов. Нелогическими символами данного формализованного языка являются параметры нелогических терминов естественного языка - параметры имен, предметных функторов и предикаторов.

Первую группу символов составляют предметные (индивидные) константы - параметры имен естественного языка. В качестве символов будем использовать буквы латинского алфавита- a, b, c, d без индексов или с индексами:

a, b, c, d, a1, b1, c1, d1 и так далее.

При переводе выражений естественного языка на язык логики предикатов простые имена заменяются предметными константами, причем одинаковые имена - одинаковыми символами.

Вторая группа нелогических символов - n-местные предметно-функциональные константы (n ≤ 1):

f, g, h, f, g, h и так далее.

Верхний индекс указывает наместность константы. Одноместный предметный функтор "столица" может быть заменен константой f1, а двухместный "расстояние от... до..." - параметром g2.

Третья группа - n-местные предикаторные константы (n > 1):

Pn, Qn, Rn, Sn, Pn1, Qn1 ...

Верхний индекс указывает на местность константы. Например, одноместный предикатор "человек" обозначается предикаторной константой P1. Иногда верхние символы предметно-функциональных и предикаторных констант опускают.

Еще одна группа - предметные (индивидуальные) переменные:

x, y, z, x1, y1, z1, ...

Такие переменные используются в ЯЛП для формальной записи выражений, содержащих кванторы общности и существования.

Логические символы ЯЛП - двух типов. Первый тип - пропозициональные связки -   и второй тип - кванторные символы:   - квантор общности (в естественном языке "для всякого...") и   - квантор существования ("существует...").

Технические символы - скобки и запятые.

12. Понятие высказывания, функции высказывания, функции указателя. Понятие квантора. Универсальный и экзистенциональный кванторы. Свободные и связанные переменные.

Высказывание - обозначающий формализованную структурированную запись мысли с помощью буквенных символов и логических связок, рассматриваемую с точки зрения истинностных значений. Это утверждение, для которого оценивается логическое значение: ложь или истина[1]. Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами. Является основным объектом логики высказываний.

Квантор-это логический оператор, с помощью которого функция высказывания, содержащая переменные, преображается в высказывание о множестве предметов, обозначенных данными переменными.

Переменная, встречающаяся в функции высказывания, называется связанной, если она встречается в кванторе, который предписывается данной функции высказывания, иначе она называется свободной.

х ( х²+3у-z).

Х - связанная переменная

У и Z- свободные или несвязанные.

13.ПРАВИЛА ИНТЕРПРИТАЦИИ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ. ПОНЯТИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЯЗЫКА.

1. Интерпретация индивидных констант.

Каждой индивидной константе к функции интерпретации I сопоставляет в качестве значения произвольный элемент из множества И.

I(K) принадлежит И

И-множество натуральных чисел.

2. Интерпретация предикаторных констант.

Каждой n-местной предикаторной константе Пⁿ, функция I сопоставляют в качестве значения произвольный класс, состоящий из n элементов, принадлежащих множеству И.

I( Пⁿ) принадлежит И

П-множество четных чисел.

3. Интерпретация функциональной константы.

Каждой n-местной функциональной константе Fⁿ, функция I сопоставляет некоторую n-местную функцию ƞ, аргументами и значением которой являются элементы множества И.

I(Fⁿ)=ƞ:Иⁿ→И

Fⁿ- сумма

14. ВИДЫ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ.ОСНОВНЫЕ ТАВТОЛОГИИ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ.

Формула:

1. Если П- n-местная предикаторная константа,

t, t₂, …..t_n- термы, то

П( t₁, t₂,……t_n)- формулы.

Терм- произвольная предикаторная константа.

2. Если А-формула, то ̚ А-формула

3. Если А и В-формулы, то А&В, АvВ, А→B- формулы

4. Если А –формула, h-предметная переменная, то для любого h под А, Кванторы-формулы.

5. Ничто иное не является формулой.

Формулы, не содержащие свободных переменных называются замкнутыми. Замкнутые формулы-предложения. ( высказывания, суждения).

Определение Формула логики предикатов называется выполнимой (опровержимой) на множестве  , если при некоторой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в выполнимый (опровержимый) предикат.

Другими словами, формула выполнима (опровержима) на  , если существует истинная (ложная) ее интерпретация на  .

Определение Формула логики предикатов называется тождественно истинной {тождественно ложной) на множестве  , если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно истинный (тождественно ложный) предикат.

Определение. Формула логики предикатов называется общезначимой, или тавтологией (тождественно ложной или противоречием), если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на каких угодно множествах, она превращается в тождественно истинный (тождественно ложный) предикат. (Тот факт, что формула   является тавтологией, обозначается, как и в алгебре высказываний,  .)