Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции

К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

1. - интеграл Пуассона (Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840));

2. - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.);

3. - интегральный логарифм;

4. - приводится к интегральному логарифму;

5. - интегральный синус;

6. - интегральный косинус.

О технике интегрирования

Сравнительно редко удается дать конкретное правило интегрирования

функций, но и тогда когда оно есть, теоретическая схема не всегда является

рациональным путем. Интегрирование чаще всего может быть выполнено не

единственным способом. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований. Владение операцией интегрирования заключается в умении произвести ее с минимумом затраченного времени и труда. В современном информационном мире порой проще вычислить интеграл, воспользовавшись специальным справочником, или компьютерными программами, с которыми вас познакомят на информатике.

ПОМНИ! Изобретательность и навык приобретаются практикой, при

решении достаточно большого числа примеров.

§5. Понятие определенного интеграла

При решении целого ряда технических и физических задач приходится

суммировать бесконечно большое число бесконечно малых величин. Вычис-

ление этих сумм приводит к одному из центральных понятий математики, к

понятию определенного интеграла. Рассмотрим постановку общей инженерной задачи, которой является нахождение массы различных изделий любой формы.

Задача. Найти массу прямолинейного тонкого стержня, если:

1) стержень однородный;

2) стержень неоднородный.

Для решения первой задачи можно представит геометрическую модель, пользуясь геометрическими формами и математическими операциями. Расположим стержень определенным образом в декартовой системе координат (как показано на рисунке 58). Прямолинейный тонкий стержень примем за отрезок прямой и поместим его на ось Ох между точками х = а и х = b, тогда длина его будет равна (b –а) . Плотность однородного стержня постоянная величина, поэтому масса стержня равна произведению его длины на плотность.

Рис.58.

Вторую задачу физики и механики решали бы, зная формулу массы, следующим способом: произведение плотности любого участка изделия на его размер. В силу неоднородности изделия масса равна сумме произведений плотности любого неоднородного участка изделия на его размер. Чем меньше размер участка, тем точнее вычисление. Распределение значений различных физических величин неравномерное, решение довольно широкого класса подобных задач сводится к одинаковым математическим операциям.

Математическое решение задачи нахождения массы неоднородного стержня, сводится к задаче нахождения площади плоской фигуры, в которой:

• Стержень – это геометрическая модель плоской фигуры (в частности это отрезок оси).

• Плотность – это есть функциональная зависимость, заданная на всех точках области.

Выполняются математические операции: произведения, суммы, приближенного вычисления (вычисление предела).

Задача о нахождении площади.

Рассмотрим криволинейную трапецию аАВb (рис. 59), т. е. плоскую фигуру, ограниченную сверху графиком непрерывной функции ,

( ), слева и справа - отрезками аА и bВ прямых х = а, х = в, снизу - осью Оx.

Разобьем отрезок [a, b] точками х_i (i = 1, 2, …, n),

a = x₀ < x₁ < x₂ < …<x_i-1 < x_i < … < x_n-1 < x_n = b

на n элементарных отрезков [х_i-1, х_i] (i = 1, 2, …, n), длины которых обозначим через . Прямыми x = x_i (i = 1, 2, …, n) криволинейную трапецию aABb разобьем на n элементарных трапеций. Стоит задача вычисления площади криволинейной трапеции. Упростим задачу и рассмотрим основание произвольного отрезка [x_i-1, x_i]. Выберем произвольную точку с_i Î[x_i-1, x_i] и вычислим f(с_i). Произведение f(с_i)Dx_i выражает площадь прямоугольника с основанием Dx_i и высотой f(с_i), и эта площадь приближенно равна площади DS_i i-й элементарной трапеции DS_i » f(с_i)Dx_i, а площадь S всей трапеции aABb равна приближенно

.

Рис. 59.

 

► Сумма называется интегральной для функции f(x)

на отрезке [a, b].

Интегральная сумма для функции f(x) и отрезка [a, b] зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора точек с_i, но чем меньше Dx_i , тем точнее значение интегральной суммы.

► Площадь криволинейной трапеции равен пределу интегральной

суммы (при условии, что длина наибольшего отрезка Dx_i стремится к

нулю):

 .

► Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b],

является конечный предел последовательности интегральных сумм,

при условии, что длина наибольшего Dx_i из элементарных отрезков

стремится к нулю (n → ∞), и предел не зависит ни от способа

разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точек с_i..

Обозначается определенный интеграл

(1)

 

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, x - переменной интегрирования, a и b - нижним и верхним пределами интегрирования.

 

! Геометрическим смыслом определенного интеграла является площадь

S криволинейной трапеции aABb (рис. 1), при условии, что функция

f(x) > 0 на отрезке [a, b] ,

 

(2)

 

Из определения следует, что величина определенного интеграла (1) не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

  .

Функция, для которой существует предел (1) называется интегрируемой на отрезке [a, b].