Глава 4. Основы интегрального исчисления

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие интегрального исчисления было получено в 17-м веке, в тесной связи с возникшим тогда же дифференциальным исчислением. Символ интеграла (рис.55) введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма).

Рис.55.

Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное:

слово integer означает целый. В ходе переписки Бернулли и Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли. Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее "примитивная функция", которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как "начальный": F(x) - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием. В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. Название и обозначение определенного интеграла ввел К. Фурье (1768-1830 г.г.), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер.

§1.Понятие первообразной и неопределенного

интеграла

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача - по данной функции найти ее производную или дифференциал.

Например, если закон движения какого-либо тела задан уравнением вида

_,

где t — время, а S — пройденный телом путь, то дифференцирова­нием функции мы находим мгновенную скорость

этого движения в данный момент времени. Однако в механике гораздо чаще приходится встречаться с обратной задачей: для любого момента времени t дана скорость тела ; требуется найти закон движения тела, т. е. зависимость пройденного им пути от времени. Как мы можем подойти к решению этой задачи и многих других, которые приводят к постановке обратной задачи - для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx? Дадим определение функции F(x).

 

► Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x)

на некотором множестве X, если на этом множестве функция F(x)

дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F¢(x) = f(x)

или,

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция – первообразная на любом промежутке по отношению к функции , так как . Аналогично из тождества следует, что функция является первообразной по отношению к функции .

Таким образом, основываясь на знании таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу.

Таблица базовых первообразных.

Таблица№3

Тип функции	Функция	Первообразная
Степенная	, кроме
Показательная
	, при
Логарифмическая
Тригонометрическая
Обратно - тригонометрическая

Легко проверить, используя правила дифференцирования, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве.

Теорема 1. Если и – две первообразные для функции на

данном множестве, то они могут отличаться лишь на посто-

янную, т.е. , где C – постоянная.

Доказательство:

Положим .

, следовательно .

Действительно .

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

 

Теорема 2 (о первообразных).

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на

заданном множестве, то все ее первообразные имеют вид

F(x) + С, где С– произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что график любой первообразной функции получается из графика функции y = F(x) простым сдвигом его параллельно оси ОУ на величину С (см. рисунок 56). График первообразной от функции f (x) называется интегральной кривой этой функции, поэтому

неопределенный интеграл геометрически представляется множеством всех

интегральных кривых, получаемых при непрерывном параллельном движении одной из них по вертикали.

Рис.56.

В связи с тем, что одна и та же функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, возникает проблема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.