Основные этапы математического моделирования

1. Составление математической модели, то есть нахождение системы уравнений, образующих исчерпывающее математическое описание процессов переноса, происходящих в аппарате, и максимально возможное ее упрощение.

2. Идентификация модели, то есть отыскание ее параметров, зависящих от конструкции и масштаба аппарата, условий проведения процесса, и сопоставление этих параметров коэффициентам переноса, соответствующих протекающим в аппарате процессам.

3. Проверка адекватности и коррекция модели. Проверка адекватности необходима для выяснения, соответствует ли полученная модель объекту, который она моделирует. Это достигается сопоставлением результатов моделирования с численным или физическим экспериментом. В случае, если модель в недостаточной степени соответствует оригиналу, производят ее коррекцию, заключающуюся в составлении более сложной системы уравнений, либо в увеличении количества учитываемых параметров, либо в уточнении зависимости этих параметров от условий процесса и т.д.

4. Использование модели для описания объекта-оригинала. Это конечный этап матмоделирования, включающий в себя оптимизацию объекта. Для существующих аппаратов оптимизация заключается в выборе наиболее эффективных и экономичных режимов раобты, для проектируемых кроме того и в определении оптимальных конструкций и размеров. Критерием оптимальности обычно выбирают затраты на изготовление и функционирование аппарата.

Достоинства матмоделирования заключаются в универсальности подхода, возможности моделирования сложных объектов по частям, а также в простоте варьирования параметров, начальных и граничных условий. К недостаткам можно отнести большие затраты машинного времени и низкую точность результатов, а также обязательную необходимость экспериментальных исследований для проверки адекватности модели.

Физическое моделирование. Теория подобия

Физическое моделирование проводится на основе экспериментального исследования материальных моделей объекта. При этом решаются вопросы:

— какую модель следует использовать,

— какие характеристики следует изменять,

— как перенести результаты исследований с модели на объект.

Данные вопросы решаются с помощью теории подобия.

Подобие — это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщенных переменных. Иначе говоря, это постоянство отношения сходных величин модели и оригинала. Теория подобия определяет условия, при которых соблюдается подобие модели и оригинала, что позволяет вместо математического решения системы дифуравнений совместно с условиями однозначности получать результаты интегрального решения экспериментально.

Объекты, подобные друг другу, описываются одной системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности, включающие в себя геометрическое и временное подобие, подобие физических величин, начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие — постоянство отношения всех соответственных линейных размеров модели и оригинала. Временное подобие — постоянство отношения интервалов времени модели и оригинала. Подобие физических величин подразумевает постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходных точках в сходные моменты времени. Подобие начальных условий — это подобие полей всех физических величин в начальный момент времени. Подобие граничных условий — постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала. Инварианты подобия — это безразмерные отношения величин, характеризующих модель и оригинал. Их значения могутизменяться в пространстве и времени, но в случае подобия одинаковы для модели и оригинала в сходных точках в сходные моменты времени и не меняются при переходе от одной подобной модели к другой. Инварианты подобия также называют критериями подобия, так как они служат признаком, по которому можно судить о подобии модели и оригинала. Инварианты подразделяются по различным признакам в зависимости от вида величин, их составляющих, а именно:

— симплексы подобия — отношения однородных величин;

— комплексы подобия — отношения разнородных величин;

—определяющие и определяемые, независимые, зависимые и постоянные переменные.

Если объект характеризуется несколькими значениями однородных величин, то во всех комплексах подобия обычно используется только одна из них, называемая характерной.