Построение разностной аппроксимации для уравнения Пуассона.
Рассмотрим в некоторой области D с границей Г уравнение Пуассона
.
(3.25)
Выберем прямоугольную сетку по правилу
.
К сеточной области
отнесем все узлы, принадлежащие области
(рис. 5).
Рис. 5. К построению разностной аппроксимации
Возьмем пятиточечный шаблон
Пользуясь
расположением точек в этом шаблоне,
разобьем узлы
области на две категории: внутренние и
граничные. Узел
будем считать внутренним,
если он сам и четыре соседних точки
шаблона принадлежат области
(эти узлы обозначены символом ).
Обозначим множество внутренних узлов
через
.
Остальные узлы назовем граничными
(помечены
)
и их множество обозначим через
.
Таким образом,
.
Очевидно, что разбиение узлов из на внутренние и граничные зависит от выбранного шаблона.
Пусть узел
.
Замену дифференциального уравнения
(3.25) разностным будем осуществлять
только во внутренних узлах.
Имеем
.
(3.26)
Воспользовавшись аппроксимацией вторых производных, получим
,
(3.27)
,
,
.
Пусть
и
ограничены
по абсолютной величине в
.
Тогда в формуле (3.27) при достаточно малых
h
и l
можно пренебречь членами, содержащими
в качестве множителей
и
,
и мы получим искомое разностное уравнение
,
(3.28)
где
,
,
.
В силу определения невязки уравнения можно получить
,
(3.29)
где
– точное решение в узлах,
,
.
(3.30)
При сделанных
предположениях относительно
и
,
как видно из (3.30), имеет место оценка
.
(3.31)
Здесь М
– постоянная, не зависит от
.
Оценка (3.31) означает,
что разностное уравнение (3.28) аппроксимирует
уравнение (3.25) на решение u(x,
y)
с погрешностью порядка
.
Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий.
К уравнениям эллиптического типа, в частности, к уравнению Пуассона (3.25), на границе Г области D присоединяются граничные условия трех видов:
граничные условия 1-го рода:
;
(3.32)
граничные условия 2-го рода:
,
(3.33)
– производная по
внешней нормали;
граничные условия 3-го рода:
,
(3.34)
– известные
функции.
Если требуется
определить функцию
,
которая в области D
удовлетворяет уравнению (3.25), а на границе
Г
– одному из краевых условий, то говорят,
что поставлена граничная задача для
эллиптического уравнения.
Задача (3.25), (3.32) называется задачей Дирихле,
задача (3.25), (3.33) – задачей Неймана,
а задача (3.25), (3.34) – смешанной граничной задачей.
Рассмотрим, как можно заменить граничные условия первого рода разностными условиями (рис. 6). Отметим, что граничные условия заменяются условиями на множестве граничных узлов .
Пусть
– некоторый узел из
;
обозначим его буквой В;
– внутренний узел, ближайший к В
по направлению
x;
обозначим его буквой А.
Буквой М
обозначим точку контура Г,
ближайшую к В
по направлению x.
Рис. 6. Замена граничных условий первого рода разностными условиями
Координаты этих точек такие:
.
По условию (3.32)
имеем
.
Значит, можно положить
(3.35)
для узлов .
Найдем погрешность формулы (3.35).
Имеем
Значит,
Отсюда следует,
что погрешность формулы (3.35) будет иметь
первый порядок относительно h
в предположении,
что
.
Если точки М
и В
совпадают, то формула (3.35) будет точной.
Точность вычисления
можно повысить, если воспользоваться
еще значением
в точке А.
Имеем:
,
(3.36)
.
(3.37)
Исключив из (3.36)
с помощью (3.37), получим
.
Отбросив здесь
величину
,
найдем разностное граничное условие,
аппроксимирующее граничное условие
(3.32) в узле
с погрешностью
:
.
(3.38)
Обратимся теперь к замене граничного условия 2-го рода разностным уравнением (рис. 7).
Рис. 7. Замена граничных условий второго рода разностными условиями
Пусть В
– граничный узел с координатами
,
М
– ближайшая к В
точка контура Г,
А
– внутренний узел с координатами
,
С
– граничный узел с координатами
– внешняя нормаль к Г
в точке М.
Обозначим угол между
и осью Ox
через ,
между
и осью Oy
– через .
Очевидно, что
.
По определению имеем
.
Предположим, что
в точке В
направление нормали такое же, как и в
точке М.
Поскольку расстояние между В
и М
есть величина порядка
,
то это предположение связано с внесением
погрешности того же порядка
.
Значит,
Поэтому окончательно получим
Используя приблизительные сеточные значения, найдем
.
(3.39)
Эта формула является
разностной аппроксимацией в узле
граничного условия второго рода с
погрешностью
.
Выражения вида (3.39) должны быть записаны для всех граничных узлов , после чего будут получены разностные граничные условия, аппроксимирующие граничные условия (3.33). Процедура замены граничных условий разностными может оказаться весьма громоздкой и сложной, особенно если контур Г имеет непростую форму. Замена граничных условий третьего рода может быть осуществлена с помощью формул вида (3.35), (3.37), (3.38).