3. Метод стрельбы. Схемы дихотомии и секущих.

Это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к решению последовательности задач Коши для той же системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере простейшей задачи для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида

(2.15^а)

; . (2.15^б)

Выберем произвольно значение , рассмотрим левое краевое условие как алгебраическое уравнение

и найдем из него . Возьмем значения в качестве начальных условий задачи Коши для системы (2.15^а) и проинтегрируем эту задачу Коши любым численным методом. При этом получим решение , зависящее от , как от параметра.

Значение выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию (2.15^б). Однако правому краевому условию это решение, скорее всего, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть краевого условия в точке b, рассматриваемая как функция параметра

, (2.16)

не обратится в нуль.

Необходимо каким-либо способом менять параметр , пока не подберем такое значение, для которого с требуемой точностью. Таким образом, решение краевой задачи (2.15) сводится к нахождению корня уравнения

. (2.17)

Простейшим методом его решения является метод дихотомии (деления отрезка пополам).

Делают пробные "выстрелы" – расчеты с наудачу выбранными значениями до тех пор, пока среди величин не окажется разных по знаку. Пара таких значений образует "вилку". Деля ее последовательно пополам до получения нужной точности, производим "пристрелку" параметра . Благодаря этому процессу весь метод получил название стрельбы.

Однако нахождение каждого нового значения функции требует численного интегрирования системы (2.15^а), то есть достаточно трудоемко.

Поэтому корень уравнения (2.17) желательно находить более быстрым методом.

Попробуем сделать это методом Ньютона:

. (2.18)

Однако вычисление производной затруднительно и лучше ее заменить разностным отношением

. (2.19)

Подставляя (2.19) в (2.18), получим итерационную формулу метода секущих:

. (2.20)

В методе секущих первые два расчета делают с наудачу выбранными близкими значениями и , а следующие значения параметра вычисляют по формуле (2.20).

Заметим, что этот метод быстро сходится вблизи корня. Сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

4. Метод стрельбы для линейной краевой задачи.

Рассмотрим теперь линейную краевую задачу, решение которой методом стрельбы особенно просто:

(2.21^а)

(2.21^б)

Воспользуемся известным результатом из теории дифференциальных уравнений: общее решение линейной неоднородной системы равно сумме ее какого-нибудь частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.

Найдем частное решение неоднородной системы (2.21^а), положив в левом условии (2.21^б) . Обозначим это частное решение через и заметим, что .

Рассмотрим теперь соответствующую однородную систему

с однородными начальными условиями

.

Вычислим решение этой задачи Коши и обозначим его через . Рассмотрим функции и . Очевидно, что в точке a эти функции удовлетворяют краевому условию:

Поэтому общее решение неоднородной задачи Коши, удовлетворяющее левому краевому условию (2.21^б) дается следующим однопараметрическим семейством

(2.22)

Значение параметра C выбираем так, чтобы удовлетворить правому краевому условию (2.21^б):

. (2.23)

Искомое решение краевой задачи (2.21) тогда находится по формуле (2.23).

Итак, решение линейной краевой задачи требует только двух “выстрелов” – вспомогательные задачи Коши решаются дважды.