8. Разностные схемы для уравнений в частных производных. Основные понятия.

Пусть D − некоторая область изменения независимых переменных x, y, ограниченная контуром Г. Говорят, что в области D задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции , если для любой точки из области D имеет место соотношение

(3.1)

где , ... − коэффициенты, − свободный член уравнения. Эти функции известны и их обычно считают определенными в замкнутой области . Обозначим Уравнение называется эллиптическим, параболическим или гиперболическим в D, если соответственно выполняются условия для всех D.

В зависимости от типа дифференциального уравнения по разному ставятся граничные и начальные условия, связанные с этим уравнением. Далее мы будем рассматривать частные случаи уравнения (3.1):

• уравнение Пуассона (эллиптическое уравнение)

;

• уравнение теплопроводности

(параболическое уравнение)

;

• волновое уравнение (гиперболическое уравнение)

.

9. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем

Пусть u есть решение дифференциального уравнения

(3.2)

заданного в области D. Рассмотрим некоторое множество D_h состоящее из изолированных точек , принадлежащих замкнутой области . Число точек в D_h будем характеризовать величиной h; чем меньше h, тем большим будет число точек в D_h. Множество D_h называется сеткой, а точки D_h − узлами сетки. Функция, определенная в узлах, называется сеточной функцией.

Обозначим через U пространство непрерывных в D функций . Через U_h обозначим пространство, образованное совокупностью сеточных функций , определенных на D_h. В методе сеток осуществляется замена пространства U на пространство U_h.

Пусть − точное решение уравнения (3.2) и принадлежит U. Поставим задачу отыскания значений . Эти значения в совокупности образуют таблицу, в которой число значений равно числу точек в D_h. Точно поставленную задачу удается решить редко. Как правило, можно вычислить некоторые сеточные значения , относительно которых можно думать, что

Величины называются приближенными сеточными значениями решения . Для их вычисления строят систему численных уравнений, которую мы будем записывать в виде

(3.3)

где L^h есть разностный оператор, соответствующий оператору L, Если то образуется по F аналогично тому, как U^h образовывалось по U. Формулу (3) будем называть разностной схемой.

Пусть в линейных пространствах U_h и F_h введены соответственно нормы , которые являются сеточными аналогами норм в исходных пространствах.

Будем говорить, что разностная схема (3.3) является сходящейся, если при выполняется условие

.

Если выполняется условие

,

где c − постоянная, не зависящая от h и s>0, то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s относительно шага h.

Говорят, что разностная схема (3.3) аппроксимирует задачу (3.2) на решении , если

Величина называется погрешностью аппроксимации или невязкой разностной схемы. Если , где M − константа, не зависящая от h и , то говорят, что разностная схема (3.3) аппроксимирует задачу (3.2) на решении с погрешностью порядка относительно шага h.

Разностная схема (3.3) называется устойчивой, если существует такое , что для всех и любых выполняются условия:

1) разностная схема (3.3) имеет единственное решение;

2) где M − постоянная, не зависящая от и .

Иначе говоря, разностная схема является устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных. Устойчивость характеризует чувствительность схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи, и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в отличие от сходимости и аппроксимации. Между понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, что отражается в следующей теореме.

Обычно применение метода сеток заключается в следующем:

1. Вначале указывается правило выбора сетки, то есть указывается метод замены области Д и контура Г некоторой сеточной областью. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.

2. Затем указывается и строится конкретно одна или несколько разностных схем. Проверяется условие аппроксимации и устанавливается ее порядок.

3. Доказывается устойчивость построенных разностных схем. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если разностная схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости судят по доказанной теореме.

4. Рассматривается вопрос численного решения разностных схем.

В случае линейных разностных схем это будет система линейных алгебраических уравнений. Порядок таких систем может быть очень большим.