24. Двумерные l-координаты.

Для треугольного элемента наиболее распространенной является система координат, определяемая тремя относительными координатами L₁, L₂, L₃ (см. рис. 16).

Рис. 16. L-координаты для треугольного элемента

Каждая координата представляет собой отношение расстояния от выбранной точки треугольника до одной из его сторон s к высоте h, опущенной на эту сторону из противолежащей вершины. Ясно, что координаты L_i изменяются в пределах от 0 до 1. Координаты L₁, L₂, L₃ называются L-координатами. Их значения дают относительные величины площадей треугольников, на которые разбит элемент (рис. 17).

j

Рис. 17. Геометрическая интерпретация L-координат

L-координаты точки В представляют собой площади треугольников, изображенных на рис. 17. Площадь треугольника (i, j, k) дается формулой

. (3.93)

Площадь заштрихованного треугольника равна

. (3.94)

Поэтому . (3.95)

Аналогично . (3.96)

Так как A₁+A₂+A₃ = A_t, то

(3.97)

Оказывается, что координатные переменные представляют собой функции формы для треугольного симплекс-элемента:

(3.98)

Как видно из рис. 17,

Подобные соотношения выполняются также для и .

Кроме того, формула (3.97) позволяет утверждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны 1.

Преимуществом L-координат является существование интегральных формул, которые упрощают вычисление интегралов вдоль сторон элемента и по его площади:

, (3.99)

(L – расстояние между двумя узлами рассматриваемой стороны).

. (3.100)

Использование соотношения (3.100) может быть проиллюстрировано при вычислении интеграла вида

,

где N_i и N_j – функции x и y. Этот интеграл по площади элемента преобразуется следующим образом:

.

25. Объединение элементов в ансамбль.

Интерполяционный полином для каждого элемента имеет вид

, (3.101)

где индекс (е) означает произвольный элемент.Техника включения элемента в область может быть проиллюстрирована на примере простой пятиэлементной конфигурации (рис. 18).

Рис. 18. Пятиэлементная конфигурация

Узлы пронумерованы от единицы до шести. Величины Ф₁, Ф₂, Ф₃, Ф₄, Ф₅, Ф₆ представляют собой глобальные степени свободы. Координаты узлов (X_, Y_ ),  =1,...., 6, предполагаются известными. Номера элементов записаны в круглых скобках.Для обозначения номеров узлов элемента могут быть использованы принятые выше индексы i, j, k, как только определен первый узел в каждом элементе. На рис. 18. i-й узел в каждом элементе выделен символом .Фиксирование узла i позволяет записать следующие равенства для различных элементов:

Элемент1: i=2, j=3, k=1; (3.102^a)

Элемент2: i=3, j=2, k=4; (3.102^б)

Элемент3: i=5, j=3, k=4; (3.102^в)

Элемент4: i=6, j=3, k=5; (3.102^г)

Элемент5: i=1, j=3, k=6. (3.102^д)

С помощью этих соотношений осуществляется включение элемента в область, так как они ставят в соответствие индексы элемента i, j, k глобальным номерам узлов. Этот процесс фиксирует координаты узлов элемента.Значения индексов i, j, k могут быть подставлены в формулу (3.101), что приводит к следующей совокупности уравнений для элементов:

(3.103)

Функции формы − множители при узловых значениях в формулах (3.103) − определяются подстановкой числовых значений i, j, k в уравнения для функций формы.

Так, функция N_k^(e) записывается в виде

(3.104)

Для пятого элемента i=1, j=3, k=6, что дает

(3.105)

Функции формы и в (3.103) − разные величины, даже если равны и . В выражение для входят константы

откуда ясно, что .

С помощью равенств (3.103) конечные элементы объединяются в ансамбль, а интерполяционные функции выражаются через глобальные узловые значения и глобальные координаты, которые вводятся вместо произвольных .