Дискретизация области и нумерация узлов.
Разбиение на элементы одномерной области сводится к делению отрезка на более короткие участки. Разбиение двумерной области обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы. Затем производится разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала область разбивают на достаточно крупные подобласти, границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материала, геометрия, приложенная нагрузка и т.п. Затем каждая подобласть разбивается на элементы. Чаще всего элементами являются треугольники, так как этот элемент – простейший из двумерных элементов в смысле аналитической формулировки. При разбиении сначала тело делится на четырехугольные и треугольные подобласти, которые затем подразделяются на треугольники, которые по форме близки к равносторонним.
Резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать.
Нумерация узлов – следующая процедура этапа выделения конечных элементов. Порядок нумерации имеет в данном случае большое значение, так как влияет на эффективность метода.
Целое число L, представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем оперативной памяти требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ на ЭВМ и тем меньше затраты машинного времени на решение системы уравнений.Ширина полосы L зависит от числа степеней свободы узлов и способа нумерации узлов.
Число степеней свободы – это количество неизвестных функций, определяемых в каждом узле. Так, например, для двумерных задач гидравлики в каждом узле определяются три переменные: давление и составляющие скорости по осям х и у.
При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспечивающий минимальную разность между номерами узлов в каждом отдельном элементе. Если наибольшую по всей области разность между номерами узлов для отдельного элемента обозначить через R, а число степеней свободы – через Q, то ширина полосы
.
В некоторых случаях уменьшение числа R может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера рассматриваемой области.
На рис. 12 приведены два различных способа нумерации узлов произвольной области, разбитой на конечные элементы.
Рис. 12. Два различных способа нумерации узлов
При первом способе R=14, при втором R=6.
Ширина полосы для этих способов при одной степени свободы в узле получается равной соответственно 15 и 7, а при двух степенях свободы – 30 и 14. Рациональная нумерация в случае б) сокращает объем оперативной памяти примерно в два раза по отношению к случаю а).
Кроме узлов в методе конечных элементов нумеруются также и сами элементы. Это можно делать произвольным образом, так как нумерация элементов не влияет на вычислительные аспекты задачи.
Линейные интерполяционные полиномы.
Классификация конечных элементов может быть проведена в соответствии с порядком многочленов − функций этих элементов. При этом рассматриваются три следующие группы элементов:
симплекс-элементы,
комплекс-элементы,
мультиплекс-элементы.
Симплекс-элементам соответствуют многочлены первой степени. Комплекс-элементам – многочлены более высокого порядка.
В симплекс-элементе число узлов равно размерности пространства + 1. В комплекс-элементе число узлов больше этой величины.
Для мультиплекс-элементов также используются многочлены высокого порядка, но границы элементов при этом должны быть параллельны координатным осям.