3.5. Принцип эквивалентности

Принцип эквивалентности позволяет определить электромагнитное поле поверхности S, охватывающей область сторонних источников, через эквивалентные поверхностные токи, распределённые по этой поверхности.

Пусть сторонние токи распределены в области с объёмной плотностью , а поверхность S, охватывающая область , делит всё пространство на области I и II (рас.3.6.), причём область I – произвольная, а область II – однородная, характеризуемая параметрами - единичный вектор нормали в каждой точке поверхности S.

Рис.3.6. К трактовке принципа эквивалентности.

На поверхности S заданы поверхностные плотности эквивалентных электрических и магнитных токов, выражающиеся через тангенциальные составляющие напряжённостей электрического и магнитного полей сторонних токов:

, (3.47)

. (3.48)

Требуется определить поля и в произвольной точке P области II на расстоянии от начала координат.

Искомые поля удовлетворяют однородной системе уравнений электродинамики (системе (3.25) при ):

(3.50)

и граничными условиями (3.47), (3.48).

Представим решение системы (3.49) в виде суммы:

(3.50)

где поля и удовлетворяют однородной системе уравнений электродинамики и определяются независимо из решения «электрической» и «магнитной» задач.

Для «электрической» задачи нужно найти решение однородной системы электродинамики:

, (3.51)

удовлетворяющее следующим граничным условиям:

(3.52)

Для «магнитной» задачи нужно найти решение однородной системы электродинамики:

, (3.53)

удовлетворяющее следующим граничным условиям:

(3.54)

Решение «электрической» задачи.

Так как тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля на поверхности S равна нулю (3.52.а), то при решении этой задачи поверхность S можно рассматривать как поверхность идеального проводника, по которой течёт поверхностный ток (3.52.б).

Используя формулу (2.25), запишем выражение для векторного потенциала этого тока:

(3.55)

где (3.47)

Напряжённости магнитного и электрического полей выражаются через векторный потенциал по формулам (2.7), (2.9):

(3.56)

Решение «магнитной» задачи.

Эта задача является двойственным аналогом предыдущей, и её решение можно представить через векторный потенциал (3.55) в виде (3.56), произведя замены:

(3.57)

В результате получим следующие выражения для векторного потенциала и напряженности полей и :

(3.58)

где

(3.59)

3.5.1. Электромагнитное поле элемента Гюйгенса.

Формулы (3.55), (3.58) можно представить как и где и - векторные потенциалы элементарного поверхностного источника, представляющего собой элемент поверхности, на которой заданы тангенциальные составляющие напряжённости электрического и магнитного полей, через которые выражаются поверхностные плотности эквивалентных электрического и магнитного токов.

Если элемент поверхности представляет собой элементарный участок фронта сферической (локально плосокй) волны, то в этом случае элементарный поверхностный источник называют элементом Гюйгенса. Векторы напряжённости электрического и магнитного полей на элементе Гюйгенса связаны между собой соотношениями (3.16):

Определим поле элемента Гюйгенса ( ), расположенного в начале координат (рис.3.7.).

На элементе заданы тангенциальные составляющие напряжённостей электрического и магнитного полей в виде:

(3.60)

Рис.3.7. Элемент Гюйгенса

Используя формулы (3.47), (3.48), запишем выражения для плотностей эквивалентных электрического и магнитного токов:

(3.61)

(3.62)

Переписывая подынтегральные выражения для потенциалов и при в формулах (3.55), (3.58), с учётом выражений (3.61), (3.62) получим выражения для электрического и магнитного векторных потенциалов элемента Гюйгенса:

(3.63)

(3.64)

Представим поле элемента Гюйгенса в виде суммы:

(3.65)

Далее, ограничиваясь определением полей в дальней зоне, в соответствии с принципом излучения на бесконечности (3.17), представим выражение для в виде:

, (3.66)

а из (3.59.а) найдём в виде:

(3.67)

Представляя единичные векторы , , входящие в выражения (3.63), (3.64), в виде разложения по ортам сферической системы координат:

(3.68)

преобразуем выражения (3.66), (3.67) для полей к виду:

Отсюда находим выражение для напряжённости электрического поля элемента Гюйгенса в дальней зоне:

(3.69)

Выражение для напряжённости магнитного поля элемента Гюйгенса в дальней зоне получим, используя формулу (3.17.б):

(3.70)

Диаграмма направленности элемента Гюйгенса в меридиональной плоскости представляет собой кривую, задаваемую уравнением которая называется кардиодной (рис.3.8.). Излучение максимально в направлении распространения волны , элементарный участок фронта которой представляет собой рассматриваемый элемент Гюйгенса. В обратном направлении излучение отсутствует.

Рис.3.8. Диаграмма направленности элемента Гюйгенса.

Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1989. –544 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение....................................………………………………………..4