22.Бесконечное множество точек покоя.

23.Теорема Гробмана-Хартмана.

В теории динамических систем, теорема Гробмана — Хартмана утверждает, что в окрестности гиперболической неподвижной точки поведение динамической системы с точностью до непрерывной замены координат совпадает с поведением её линеаризации.

Теорема. Пусть p — гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма , а — линейная часть отображения в точке , записанная в локальных координатах. Тогда найдутся окрестности точки и точки 0 и гомеоморфизм что на .

24.Бифуркации положений равновесия.

В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров. Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями. Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями. Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.

25.Основные понятия теории устойчивости.Устойчивость по Ляпунову.

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путем замены неизвестной функции.

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого , решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству

26.Основная теорема Ляпунова об устойчивости решения.

еорема Ляпунова об устойчивости. Пусть в окрестности D нуля в Rn существует автономная функция Ляпунова системы (4) такая, что V(0) = 0 и V(x) > 0 при x ∈D \{0}. Тогда нулевое положение равновесия этой системы устойчиво по Ляпунову.

27.Задача об определении длины береговой линии.

Мы можем измерить длину береговой линии только приблизительно. По мере того как мы уменьшаем масштаб, нам приходится измерять все больше маленьких мысов и бухт - длина береговой линии увеличивается, и объективного предела уменьшению масштаба (и, тем самым, увеличению длины береговой линии) просто не существует; мы вынуждены признать, что эта линия имеет бесконечную длину. Мы знаем, что размерность прямой линии равна одному, размерность квадрата - двум, а размерность куба - трем. Мандельброт предложил использовать для измерения "чудовищных" кривых дробные размерности - размерности Хаусдорфа - Безиковича. Бесконечно изломанные кривые, подобные береговой линии - не вполне линии. Они как бы "заметают" часть плоскости, подобно поверхности. Но они и не поверхности. Значит, резонно предположить, что их размерность больше одного, но и меньше двух, то есть это дробно-размерные объекты.

Норвежский ученый Е. Федер, предложили другой способ измерения длины береговой линии. Карту покрыли квадратной сеткой, ячейки которой имеют размеры е ? е. Видно, что число N(e) таких ячеек, которые покрывают береговую линию на карте, приближенно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором e. Если е уменьшать, то число N(e) будет возрастать. Если бы длина береговой линии Великобритании имела определенную длину L, то число шагов циркуля с раствором (или число квадратных ячеек N(e), покрывающих береговую линию на карте) было бы обратно пропорционально e, а величина Ln(e)=N(e) ? e при уменьшении к стремилась бы к постоянной L. К сожалению, расчеты, проведенные многими учеными, показали, что это не совсем так. При уменьшении шага измеренная длина возрастает. Оказалось, что взаимосвязь измеренной длины L(e) и шага e может быть описана приближенным соотношением