24. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың өзара орналасуын зерттеу.

Р: = = ; =(l,m,n) – бағыттаушы вектор; (.) ( ; ; ) P;

π: Ax+By+Cz+D=0;

1) P түзуі π жазықтығымен беттеседі ↔ (.) є π, //π ↔

A +B +C +D=0, Al+Bm+Cn=0;

2 ) P∩π=Ø(бос жиын); (.) єπ, //π ← A +B +C +D≠0, Al+Bm+Cn=0;

ҮҮ Ђ

3) P∩π = жалғыз нүктеде ↔ // π ↔ Al+Bm+Cn≠0;

25. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың арасындағы бұрыш.

Кеңістіктегі L түзуі мен Q жазықтығының арасындағы бұрыш деп, берілген L түзуі мен оның жазықтығы проекциясыының арасындағы сыбайлас екі бұрыштың бірі бұрышын айтады.

L түзуі мен = канондық теңдеуімен берілсін. бұрышын түзудің бағыттаушы және жазықтықтың нормаль векторының арасындағы бұрышы арқылы өрнектейтін болсақ:

: = ; ал =

Бірақ барлық кезде деп қарастыратын болады. Өйткені сыбайлас бұрыштардың синустары өзара тең:

Ендеше деп алуға болады.

=| = . ЕгерL || Q болса, онда

Am+Bn+Cp=0. Егер Л перпендикуляр Й болса, Онда бағыттаушы және жазықтықтың нормаль векторы өзара коллинеар болады.

26. Эллипс. Канондық теңдеу

Анықтама және дейін арақашықтарының қосындысы константа (өзгермейтін сан) болатын жазықтықтың нүктелер жиыны эллипс деп аталады.

- эллипстың фокустары.

-фокалдық радиустар.

Егер кез келген (.)M(x,y) үшін

Енді - қарастырайық. (.)M(x,y) - кез келген нүктесі.

Онда

Бізде . Сонда

Бізде деп белгілейік.

элипстің канондық теңдеуі

Фокалдық радиустарды есептеу

= =

Бізде, >0

Эллипстің эксцентриситеті.

e- эксцентриситет

Бізде

Егер ,онда эллипс фокалдық өсіне қарай жиналады.

Егер ,онда эллипс шеңберге жуықтайды.

Эллипстің параметрлік теңдеуі.

Мына теңдеуді қарастырайық:

Енді болсын.

Онда

Сондықтан, эллипстің параметрлік теңдеуі:

27. Гипербола (канондық теңдеуін қорыту, фокалдық радиустар, эксцентриситет, параметрлік теңдеу, асимптоталар). F₁,F₂ нүктелеріне дейінгі арақашықтықтарының айырмасының модулы тұрақты сан болатын жазықтықтағы нүктелер жиынын гипербола деп атаймыз.

|r₁-r₂|=2a

Фокалдық радиустар:

r₁= , r₂=

Канондық теңдеуін қорыту:

| – |=2a

= ±2a

(x-c)²+y²=(x+c)²+y²± ²+4a²

x²-2cx+c²y²=x²+2cx+c²+y²±4a +4a²

cx+a²=±a

c²x²+2a²cx+a⁴=a²x²+2a²cx+a²c²+a²y²

x²(c²-a²)-a²y²=a²c²-a⁴

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- = 1

Гиперболаның экцентриситеті деп, келесі санды айтамыз:

c>a, e>1

Гиперболалық косинус пен гиперболалық синус:

cht=

sht =

Параметрлік теңдеу:

cht = , sht=

Асимптота дегеніміз гипербола шексіз жуықтайтын түзу.

y = x; y= - x.

28. Парабола. Бізге жазықтықта (.) F нүктесі және түзуі берілсін, F түзуіне тиісті емес.

Анықтама.Жазықтықтағы нүктелер жиынын парабола деп атайды, егер сол жиынның әр бір нүктесінің нүктесіне дейінгі арақашықтығы және түзуіне дейінгі арақашықтықтары тең болса.

y M

d r

D( ,,0) x

Бұл жерде F – фокус, директриса, фокуспен директрисаның арасындағы арақашықты параболаның параметрі деп атайды.

Параболаның – сін бірге тең деп аламыз, .

Бізде , егер онда минус таңбасы шығады

Сондықтан, 1) егер (.) парабола

2) егер (.) парабола

Параболаның түрін зерттеу.

Бізде - тің дәрежесі жұп сан, сондықтан осі параболаның симметрия осі. Параболаның симметия осімен қиылысу нүктесін параболаның төбесі деп атайды. – нүктесі (1) – дің төбесі.

Бізде ,

теңдеуін шешейік.

, бұл жерде қарастырайық. Сонда жарты интервалда өспелі функция және

Сол сияқты жағдайды қарастыруға болады.