17. Жазықтықтың теңдеулерілерін қорытып шығару.

П-жазықтық, -тіркелген нүкте. ( , -кез келген нүкте. ( ,

= , ( ) M компланар (1) векторлық түрдегі параметрлік теңдеуі

x = => y = координаталық түрдегі параметрлік теңдеуі

Z =

x - => y -

Z -

=> =0 (3) бір нүкте арқылы өтетін және екі векторға параллель жазықтыктың теңдеуі

19. Екі жазықтықтың өзара орналасуы. (дәлелдеумен)

1-теорема.

және жазықтықтары беттеседі сжтсғ,егер олардың теңдеуіндегі барлық коэффициенттер өзара тең болса.

1. ↔ = =

=1

2. жаз-ы параллель болады сжтсғ,егер теңдеудегі x,y,z алдындағы коэффициенттері пропорционал болса,ал бос мүшесі пропорционал болмаса.

=

=2 =1

3. жаз-ы түзу қиылысады сжтсғ,егер мына шарт орындалса,яғни матрица рангі 2-ге тең болса.

=2

1-теорема. Дәлелдеу. , = , =

, = , = - +

- =0 ,

20. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.

Егер екі жазықтық жалпы түрдегі теңдеулерімен

А1х+В1у+С1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0 берілген болса, онда олардың арасындағы бұрыш үшін олардың нормаль векторларының арасындағы бұрыштың айтамыз.Өйткені екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышпен өлшенетіні белгілі.Ал екі нормал арасындағы бұрыш осы сызықтық бұрыш болып саналады.Жазықтықтардың теңдеулерінен олардың нормаль векторларын

N1=A1i+B1J+C1k, N2=A2i+B2j+C2k табамыз,ал проекциялары арқылы берілген ве кторлардың арасындағы бұрыштың косинусының формуласы

Cosф=(N₁+N₂) / |N₁|*|N₂|=A ₁A₂+B ₁B₂+C ₁C₂ / *

Сонымен екі жазықтық арасындағы бұрышты осы формула арқылы табуға болады.

21.Жазықтықтың нормаль векторы. Жазықтықтың нормал теңдеуін қорытып шығару. Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық.

Бізге Ах+Ву+Сz+D=0 түрінде жазықтық берілсін. Осы жазықтықтың нормаль векторы деп осы жазықтыққа перпендикуляр N(A;B;C) түрінде болатын векторды айтамыз. Жазықтықтардың нормаль векторы N коорд.осьтерімен сәйкес α,β,γ бұрыштарын жасайтын болса, онда оны N=(cosα)*i+(cosβ)*j+(cosγ)*k түрінде жазуға болады.

=>cos(x-x₀)+cos(y-y₀)+cos(z-z₀)=0 н/е

cosα*x+cosβ*y+cosγ*z-(x₀*cosα+y_0*cosβ+z_0*cosγ)=0 түрінде жазуға болады.

X*cosα+y*cosβ+z*cosγ-p=0

-жазықтықтың нормаль теңдеуі. Ал жалпы теңд.түрде берілсе Ах+Ву+Сz+D=0/* μ

μ * Ах+ μ *Ву+ μ *Сz+ μ *D =0 μ * А= cosα, μ *В= cosβ , μ *С= cosγ cos²α+cos²β+cos²γ=1

cos2α+cos2β+cos2γ=1

μ ²*(A²+B²+C²)= cos²α+cos²β+cos²γ=1 μ=± - нормалаушы көбейткіш.

22. Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтың формуласын қорытып шығару.

Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық.

Кеңістікте бір М₀ (x₀, y₀, z₀) нүктесі және Ах+Ву+С z+D=0. Жалпы теңдеуі мен Q жазықтығы берілген. Олардың арасындағы қашықтықты d деп белгілеп, яғни М₀ нүктесінен Q жазықтығына түсірілген перпендикуляр ұзындығын мына формула

d= арқылы табуға болады.

Q –нүктесінен π жазықтығына перпендикул түсірейік.

(.) Q( , (.)

| = d((.)

( , | ( ^ =±d;

( , -( -p=0=

d=| |

d =

23. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуын зерттеу. Кеңістікте ОХУZ тік бұрышты Декарт координаталар жүйесі берілсін Алдымен L₁ мен L₂ екі түзуінің өзара орналасуын қарастырайық. Бұл түзулер L₁, L₂ берілген нүктелер және берілген а₁// L₁, а₂// L₂ бағыттаушы векторлармен толық анықталады. Ендеше олардың параллел болуы, бір нүктеде қиылысуы, беттесуі, айқасуы берілген нүктелер және векторлар арқылы сипатталуы керек. L₁ мен L₂ түзуінің канондық түзуі берілсін.

L₁: = = , L₂: = =

Енді бағытталған кесінділердің коллинеарлық шарты мен аралас көбейтіндіні есептеу формуланы қолдансақ, жоғары L₁ мен L₂-нің өзара орналасу шарттары келесі түрде жазылады: L₁ // L₂  = - параллель (1)

| =1 - бір нүктеде қиылысады.  =0 және

(2)

L₁ мен L₂ айқасады  (3)

L₁ мен L₂ беттеседі  (x₂-x₁) : (y₂-y₁) : (z₂-z₁)= (4).