1. Векторлар . Векторларды қосу амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен)

Егер кесіндінің ұзындығымен қоса бағытыда берілген болса,онда оны вектор деп атайды. Егер 2 век-дың ұзындығымен қоса бағыттас болса,олар тең.

Егер О (·)-сі А және В (·) арасында орналасса ,онда а және в қарама –қарсы бағытталған д/а.(а↑↓в)

Егер О (·) А және В (·)арасыда орналасса ,онда а және в бағыттас.(а↑↑в)

.Екі вектордың қосындысы a + b

векторы деп, b векторының басы a векторының ұшымен түйістірілген

жағдайда, басы a векторының басымен, ұшы b векторының ұшымен сəйкес келетін векторды айтамыз. Анықтамаға сəйкес a жəне b

қосылғыштары мен олардың

қосындысы a + b үшбұрыш

құрады. Сондықтан екі

векторды қосу ережесі

“үшбұрыш ережесі ” деп

аталады.Векторларды қосу амалы келесі қасиеттерге ие:

1. А) a + b = b + a (коммутативтілік);

б) (паралелограм) а+в =АВ +BC = АС в+а = АD+DС = АС

2) (a + b ) + c = a + (b + c ) (ассоциативтілік);

а+в=ОА +АВ=ОВ

ОВ+с=ОВ+ВС=ОС

в+с=АВ+ВС=АС

а+АС=ОА+АС=ОС

3) Кез келген a векторы үшін

a + θ=θ+а = a(нөлдік вектор қасиеті);

бас нүктесімен ұшы беттесетін бектор нөлдік.бағыты анықталмаған,ұзындығы -0

а= АВ; ВВ=θ ; АВ+ВВ =АВ, а+θ=а;

АА=θ; АА+АВ=АВ; θ+а=а

4) а+в=в+а=θ

АВ+ВА=АА=θ

ВА+АВ=ВВ=θ в=-а

Кез келген a векторына a + a₁ = 0 болатындай, қарама -қарсы вектор a₁ табылады ( a₁ векторын алу ұшын a

векторыының басы мен ауыстыру жеткілікті)a векторына қарама - қарсы векторды (−a) арқылы белгілейміз.

2. Векторларды санға көбейту амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен)

а векторының λ нақты санына көбейтіндісі λ>0 жағдайда ↑↑ aλ бағыттас, λ < 0 жағдайда a λ↑↓бағытталған және ұзындыығы | λ |*|а| тең веторды айтамыз.

Векторды санға көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:

1) λ(μa) = (λμ)a (көбейткіштердің ассоциативтілік қасиеті);

2) λ(a+b)=a λ+ bλ

(λ+μ) a = aλ+aμ

( дистрибутивтілік қасиет).

3)1*а=а

4) (α*β) = α*(β

3. Сызықтық тәуелді векторлар жүйесі. Сызықтық тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттері. (дәлелдеумен)

Егер Ө-ны а₁,а₂,…a_n векторлары арқылы ең болмағанда коэффициеттерінің біреуі нөлден өзгеше болатындай етіп сызықтық өрнектеледі :Ө=α ₁a+ α ₂a₂+… α_na_n, онда а₁,а₂….а_n векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады:Қасиеттері:1 егер а₁,а₂….a_n векторлар-ң ең болмағанда біреуі нөлдік вектор болса,онда жүйе сызықтық тәуелді болады,Дәлелдеу:Анықтық үшін а_n=Ө болсын,онда 0*а₁+0*а₂+….+0*a_n-1+1*a_n=Ө, демек а₁,а₂,….а_n сызықтық тәуелді жүйе,2қасиет жалғыз вектордан тұратын жүйе сызықтық тәуелді болуы, үшін бұл вектордың нөлдік вектор болуы қажетті және жеткілікті дәлелдеу:егер жалғыз а₁ векторы нөлдік вектор болса ,онда бұл жүйе қасиет 1 бойынша сызықтық тәуелді ;3)егер сызықтық тәуелді жүйеге бірнеше вектор қоссақ,онда жаңа жүйе де сызықтық тәуелді болады, дәлелдеу а₁,а₂,….a_k векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болсын,а-а бойынша α₁, α₂…. Α_k нақты сандарды табылып:α₁a₁+ α ₁a₁+….. α_k a_k=Ө,ал α _1, α_2,,,,,α_к сандары арасында ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше,берілген жүйеге қосымша кез келген а_к+1,а_к+2,……,a_n векторларын қарастырайық,онда α₁a₁+….. α _k a_k+0a_k+1+…..0 a_n=Ө,демек а₁,а₂,….a_n векторлар жүйесі де сызықтық тәуелді;4)a₁,a₂,….a_n(2≤n)векторлар жүйесінің ,сызықтық тәуелді болуы үшін осы векторлардың кем дегенде біреуінің қалған векторлар арқылы сызықтық өрнектелуі қажетті және жеткілікті ;дәлелдеу:қажеттілік а_1,а₂….a_n жүйесі сызықтық тәуелді болсын,яғни α₁, α₂ ,_…….α_n нақты сандары табылып α ₁a₁+ α₂a₂+… α_na_n=Ө,ал α₁ α₂…. Α_n сандардың арасында ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше,анықтық үшін α _n ≠0 болсын.

Онда а_n=(-α ₁/ α _n ) a₁+(- α₂/ α _n)a₂+…. (-α _n-1/α _n) a_n-1

Жеткіліктілік: Анықтық үшін а _n=β₁ а ₁+…+ β_n-1 а _n-1 болсын, ондаβ₁ а ₁+…+ β_n-1 а_n-1+

(-1) а _n= Ө. Соңғы өрнектегі а_n векторының коэффиценті нөлден өзгеше, демек а ₁, а ₂... а _n жүйесі сызықтық тәуелді.