1.3.3. Определение параметров эмпирических распределений

Экспериментально полученные массивы чи­сел представляют собой случайную выборку, лишь приближенно характеризующую генеральную совокупность и тем более те­оретическое распределение. Поэтому при обработке данных на­блюдений или эксперимента следует говорить не о параметрах распределения, а об оценке этих параметров или, как иногда называют такие оценки, о статистических параметрах. В даль­нейшем статистические параметры (оценки теоретических пара­метров) опытных величин будут обозначаться звездочкой. Так, если математи­ческое ожидание, дисперсия, стандарт случайной величины х обозначаются т_х, D_x и а_х, то для соответствующих величин, полученных опытным путем, будем использовать обозначения т_x*, D_x* и а_x*.

Естественной оценкой математического ожидания т случай­ной величины х является среднее арифметическое ее наблюда­емых значений (или статистическое среднее):

(1.48)

Для оценки дисперсии, казалось бы, можно было пользовать­ся формулой (1.20), записав ее применительно к дискретному распределению, или формулой (1.21), но так можно поступать только при больших выборках. Для получения несмещенной оценки дисперсии при относительно малых выборках вводится поправочный коэффициент п /(п- 1), т. е. используется формула для исправленной дисперсии:

(1.49)

Оценка среднего квадратического отклонения (стандарта) произ­водится по формуле

(1.50)

Заметим, что среднее квадратическое отклонение среднего ариф­метического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин, поэтому для оценки стандарт­ного отклонения используется формула

(1.51)

1.3.4. Доверительные интервалы. Надежность. Обеспеченность

Работая с массивом случайных чисел, необходимо знать не только их среднее значение, но и реальные пределы, в которых это значение может изменяться. Среднее значение чисел данной выборки будет представлять собой оценку математического ожидания генеральной совокупности, которую нетрудно вычислить по формуле (1.48). Среднее квадратическое отклонение (1.51) указывает лишь на усредненный разброс значений вокруг ма­тематического ожидания, но не дает возможности установить реальные пределы этого разброса. Подобные прогнозы могут быть основаны на интервальных оценках параметров распре­делений.

Надежностью (доверительной вероятностью) называют веро­ятность, с которой исследуемая величина находится в пределах доверительного интервала. Площадь, выделенная на рис. 1.6, а, определяет доверительную вероятность того обстоятельства, что величина х заключена в пределах доверительного интервала [а, b]. Концы интервала а и b называют доверительными гра­ницами. Поскольку эти концы сами являются случайными вели­чинами, то правильнее следует говорить не о вероятности попа­дания случайной величины в доверительный интервал, а о веро­ятности покрытия этой величины доверительным интервалом.

Иногда при выборе интервала за аргумент вместо довери­тельной вероятности р-а берут величину, дополняющую ее до 1, т. е. 1-р (вероятность выхода за интервал). Эту величину назы­вают уровнем значимости

(1.52)

Обычно применяют 5; 1; 0,3; 0,1% уровни значимости, что соот­ветствует интервалам, которые покрывают случайную величину соответственно с вероятностью 0,95; 0,99; 0,997; 0,999.

В тех случаях, когда интервалы отсчитывают от одного и того же значения (обычно 0 или - ∞), говорят об односторонних интервалах, если же обе границы изменяются, то говорят о двусторонних интервалах. В дальнейшем условимся доверительную вероятность, связанную с двусторонними интервалами, называть надежностью, а с одно­сторонними - обеспеченностью.

Выбор количественной оценки надежности и обеспеченности представляет собой сложную задачу, требующую глубоких про­фессиональных знаний в данной предметной области. Эту задачу нельзя формализовать, поэтому приходится полагаться на инту­ицию и накопленный опыт. Понятно, что при проектировании постоянного моста нужно принимать обеспеченность расчет­ных параметров существенно более высокой, чем при проек­тировании временного моста. Приняв обеспеченность для паводка равной 0,98, вы вправе ожидать, что в процессе эксплуатации 100 мостов, построенных по данному проекту, в двух из них паводок когда-нибудь может превысить расчетное значение. Последствия такого превышения паводка для постоянного и для временного моста не сопостави­мы друг с другом. При выборе обеспеченности полагаются на интуицию, но опираются на накопленный и проверенный практи­кой опыт.

Если задан массив случайных чисел x_i и есть основания пола­гать, что эти числа распределены по тому или иному закону, то определить границы доверительного интервала можно по табли­цам, составленным для соответствующих законов распределения. Обычно таблицы составляют для нормированных величин (1.26), что соответству­ет точности оценки (расстоянию до границы доверительного интервала), равной

(1.53)

Для обратного перехода можно использовать формулы (1.28)......(1.31).

Для определения границ, соответствующих заданной дове­рительной вероятности, удобно иметь таблицы функции рас­пределения в «перевернутом» виде, т. е. они должны давать значения х в зависимости от выбранного значения F(x).