Тактическое планирование

Тактическое планирование эксперимента направлено на реше­ние таких проблем, как назначение размера выборки, определе­ние начальных условий эксперимента, уменьшение дисперсии для увеличения точности оценки результатов и др.

Назначение размера выборки играет важную роль при стоха­стическом моделировании, когда переменные представлены зако­нами, в соответствии с которыми распределены их выборочные значения. Поскольку эти значения случайны, существует некото­рая неточность результата эксперимента, степень которой в зна­чительной мере определяется размером выборки. Размер выбор­ки может определяться либо априорно, т. е. независимо от рабо­ты модели, либо в процессе моделирования на основе получен­ных с помощью модели результатов.

Априорный анализ возможен, если есть какие-либо общие основания для принятия того или иного закона распределения случайной величины, например, сумма большого числа независи­мых случайных величин (нормальное распределение), редкие со­бытия (распределение Пуассона) и т. п. Такие основания можно получить из сравнительного сопоставления разных законов рас­пределения с учетом характерных особенностей, присущих раз­личным распределениям. Если встречаются затрудне­ния при таком подходе к решению проблемы, можно провести пробный эксперимент для предварительных оценок параметров распределений.

Когда закон распределения определен, объем выборки может быть найден по правилам математической статистики в зависимости от заданной надежности (обеспеченности). Так, при нор­мальном распределении можно воспользоваться формулой (1.53):

(1.79)

Если стандартное отклонение неизвестно, то грубую оценку вели­чины а можно получить из условия, что размах переменной отклика равен примерно 4σ.

Когда распределение неизвестно и нет оснований для приня­тия нормального закона, то можно воспользоваться неравен­ством Чебышева, которое имеет вид

(1.80)

Пусть мы желаем, чтобы наша оценка т_x* попала в интервал, равный т_х±σ/4 с вероятностью 0,95, т. е. Р{т_х*-т_x│}σ/4}≤0,05. В этом случае (учитывая, что k= /4; 1/k²=4²/n) будем иметь Р{т_х*-т_х│>σ/4}≤0,05=4²/n. Отсюда n=4²/0,05=320. Полученный размер выборки существенно больше того, который оказывается достаточным в случае нормального распределения (для нормального распределения он при данных условиях равен 61), однако он позволяет получить гарантированную точность «с запасом».

Часто возникает задача проверки близости распределения отклика модели к некоторому другому распределению. Напри­мер, такая задача возникает, когда необходимо проверить бли­зость распределений откликов модели и реальной моделируемой системы или сравнить распределения откликов на двух режимах работы системы. В таких случаях объем выборки можно опреде­лить по формулам

(1.81)

(1.82)

(1.83)

В формулах (1.81)...(1.83) δ - точность оценки; β - уровень зна­чимости.

Выбор точки отсчета для начала эксперимента. Установивший­ся процесс в эксперименте начинается спустя какое-то время после его начала. Это характерно практически при любом моде­лировании. Так, при механических испытаниях конструкции в на­чальный период происходят неопределенные процессы «обжа­тия» конструкции и нагружающих устройств, устранения зазоров в соединениях элементов между собой и с измерительными при­борами, «обкатки» этих приборов, а также целый ряд других факторов, влияние которых искажает результаты испытаний. Подобные искажения результатов в начальный период испы­таний характерны и для имитационных компьютерных моделей, в которых они возникают за счет переходных процессов. При компьютерном моделировании, в отличие от физического, за­ранее исключить переходные процессы иногда не удается, по­скольку не известно, когда начинается установившийся устой­чивый режим работы. Для того чтобы снизить влияние искаже­ний результатов, при имитационном моделировании либо увели­чивают длину прогонов модели, либо за начало отсчета прини­мают не начало испытаний, а некоторый фиксированный момент времени.

Уменьшение дисперсии оценок. Методы уменьшения дисперсии служат либо для увеличения точности при работе с выборкой постоянного объема, либо для уменьшения этого объема при обеспечении постоянной степени точности. Следует отметить, что при правильном использовании методов уменьшения диспер­сии эффективность моделирования может весьма существенно возрасти, однако формальное применение некоторых из методов может привести к противоположным результатам.

Стратифицированные выборки. В методе стратифицирован­ных выборок всю выборку разбивают на ряд выборок меньшего объема (страт), а результаты оценивания по стратам объеди­няют затем в единую оценку. Элементы в каждой страте долж­ны быть более однородными, т. е. обладать меньшей диспер­сией, чем элементы всей совокупности в целом. Размеры страт можно выбирать различными способами, например, разбить совокупность на страты с одинаковым числом элементов. При наличии априорной информации лучше выбрать страты с оди­наковыми дисперсиями.

При решении вопроса о числе выборочных значений, которые необходимо взять из каждой страты, может использоваться дисперсия внутри страты. Если внутри данной страты дисперсия равна нулю, то одно измерение из этой страты дает полную инфор­мацию о ней. Из страты с большой дисперсией следует взять достаточно большое число измерений. Если дисперсии в стратах различаются незначительно, можно применить пропорциональ­ное стратифицирование, т. е. число наблюдений в выборке рас­пределять по стратам пропорционально доле, которую эта стра­та занимает в совокупности.

Выборки по значимости. Основой выборки по значимости служит некоторое неадекватное распределение, отличное от диктуемого физическим смыслом задачи. Полученные с его помо­щью выборочные значения переменной умножаются на специаль­но подобранный весовой коэффициент, чем компенсируется ошибка.

Частным случаем выборки по значимости является метод, называемый в зарубежной литературе «Русской рулеткой». Иллюстрацией такого метода может служить пример оценива­ния вероятности того, что сумма чисел, выпавших при последо­вательном бросании двух игральных костей, равна 3. Число бросаний костей можно сократить, если перед бросанием второй кости обратить внимание на число, выпавшее на первой кости. Если это число не равно 1 или 2, то не имеет смысла бросать вторую кость, так как мы не можем получить сумму, равную 3. В подобных случаях сразу можно перейти к следующему испытанию.

Метод компенсации. Этот метод предназначен для систем имитационного моделирования. Идея метода состоит в постро­ении двух оценок x₁ и х₂ неизвестного параметра у, такого, что x₁ имеет отрицательную корреляцию с х₂. При выборе окон­чательной оценки (х₁+х₂)/2 параметра у она имеет существенно меньшую дисперсию:

Метод коррелированных выборок. Такой метод предназна­чен для сравнения двух и более альтернатив. Например, задача может заключаться в определении лучшей из двух страте­гий А и В. В подобных случаях нас интересует относительное различие двух альтернатив, а не абсолютное значение каждой из них. Для сравнения средних значений двух альтернатив необ­ходимо оценить их разность M(Z)=M(A) - M(B). При незави­симых А и В имеем D(Z)=D(A)+D (В). Если же А и В зависимы, то новая переменная Z* имеет то же среднее, что и Z, но с гораздо меньшей дисперсией D(Z*)=D(A)+D(B)-cov(A,В). Задача состоит в таком построении выборки, чтобы ковариация (А,В) была положительна и достаточно велика. Для получения такой корреляции при имитационном моделировании можно ис­пользовать управление генерацией случайных величин на двух прогонах.