Лекция № 4 типовые схемы. Непрерывно-детерминированные модели
Рассматриваемые вопросы
1. Обзор типовых схем.
2. Непрерывно-детерминированные модели.
3. Приложение непрерывно-детерминированных моделей.
4.1. Типовые схемы
Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако на практике моделирования объектов в области системотехники и в области системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рационально использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы , системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.
Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения.
При построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно детерминированный (например, дифференциальные. уравнения), дискретно-детерминированный (конечные автоматы), дискретно стохастический (вероятностные автоматы), непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания), обобщенный универсальный (агрегативные системы).
4.2. Непрерывно-детерминированные модели (d-схемы)
Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные – функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
4.3. Основные соотношения
Обычно
в таких математических моделях в качестве
независимой переменной, от которой
зависят неизвестные искомые функции,
служит время
.
Тогда математическое соотношение для
детерминированных систем в общем виде
будет:
,
(4.1)
где
и
n – мерные векторы;
–
вектор-функция, которая определена на
некотором
– мерном
множестве и является непрерывной.
Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. Dynamic).
В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид
,
(4.2)
Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса процесса функционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической Sм (колебания маятника рис. 4.1, а и электрической рис. 4.1, б )
Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
,
(4.3)
где
– масса и длинна подвеса маятника;
– ускорение свободного падения,
– угол отклонения маятника в момент
времени
.
Рис. 4.1. Элементарные системы
Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника
,
(4.4)
Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением.
,
(4.5)
где
– индуктивность и емкость конденсатора;
– заряд конденсатора в момент времени
.
Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период характеристических колебаний
.
(4.6)
Очевидно,
что, введя обозначения
получим обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка, описывающее
поведение этой замкнутой системы:
,
(4.7)
где
– параметры системы;
– состояние системы в момент времени
.
Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели. Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем должно быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы Sм) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы Sк).
Если изучаемая система S, т. е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой E, то появляется выходное воздействие x(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно – детерминированная модель такой системы будет иметь вид
.
(4.8)
С
точки зрения общей схемы математической
модели
является входным (управляющим)
воздействием, а состояние системы S в
данном случае можно рассматривать как
выходную характеристику, т. е. полагать,
что выходная переменная совпадает с
состоянием системы в данный момент
времени
.