Пример. Допустим, что процесс обслуживания описывается сле­дую­щей системой уравнений:

где – вероятность нахождения системы в состоянии в момент времени t , т. е. когда в ней имеется n заявок.

Эти уравнения следуют из того, что вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени равна вероятности нахождения в системе заявок в момент t, умноженной на вероятность того, что за время в систему не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе заявок в момент , умноженная на вероятность того, что за время одна заявка покинет систему и не поступит ни одной заявки. Вероятность того, что за время не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не покинет систему, равна . Член, содержащий , при составлении дифференциального уравнения опускается. Следовательно, можно записать . Относительно остальных двух членов первого уравнения заметим, что

.

Перенеся Рn(t) влево и устремив к нулю, получим систему дифференциальных уравнений:

Найдем выражение для математического ожидания числа заявок, находящихся в накопителе, и среднего времени ожидания заявок в накопителе для стационарного состояния . Приравняв к нулю производные по времени и исключив таким образом время из уравнений, получим систему алгебраических уравнений:

Пусть в первом уравнении . Тогда . Подставив сюда значение p₁ из второго уравнения, находим . Повторяя эти операции, получаем , причем , так как это сумма вероятностей того, что в системе нет ни одной заявки, имеется одна заявка, две заявки и т. д. Сумма этих вероятностей должна быть равна единице, так как рассматриваются все возможные состояния системы. Поэтому или , оттуда . Следовательно .

Полученное выражение представляет собой геометрическое распределение. Математическое ожидание числа заявок, находящихся в системе (приборе),

.

Отметим, что – среднее значение и возможны колебания числа заявок, ожидающих обслуживания, что можно оценить с помощью дисперсии:

.

При этом

.

Следовательно,

.

Математическое ожидание числа заявок, находящихся в накопителе,

.

Среднее время ожидания числа заявок в накопителе

.

Возможности оценки характеристик с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными по сравнению с требованиями практики исследования и проектирования систем, формализуемых в виде Q-схем. Несравненно большими возможностями обладают имитационные модели, позволяющие исследовать Q-схему, задаваемую Q = (W, U, H, Z, Y, R, A), без ограничений. На работу с Q-схемами при машинной реализации моделей ориентированы многие языки имитационного моделирования, например SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Перечислите особенности непрерывно-стохастических моделей.

2. Опишите системы массового обслуживания.

3. Назовите основные соотношения.

4. Дайте понятие элементарного аппарата обслуживания.

5. Дайте характеристики СМО.

6. Назовите возможные приложения.

7. Назовите языки имитационного моделирования Q-схем.