Лекция № 6 дискретно-стохастические модели
Рассматриваемые вопросы
1. Дискретно-стохастические модели.
2. Основные соотношения.
3. Возможные приложения.
6.1. Дискретно-стохастические модели (р-схемы)
Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования исследуемой системы S. Так как сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмотренным в (F-схемах) конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.
6.2. Основные соотношения
В общем виде вероятностный автомат (англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.
Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.
Введем
математическое понятие Р-автомата,
используя
понятия,
введенные для F-автомата.
Рассмотрим
множество G,
элементами
которого являются всевозможные пары
где
и
– элементы
входного подмножества
и
подмножества состояний
соответственно.
Если существуют две такие функции
и
,
то
с их помощью осуществляются отображения
и
,
то
говорят,
что
определяет автомат детерминированного
типа.
Введем
в рассмотрение более общую математическую
схему. Пусть
– множество всевозможных пар вида
где
— элемент
выходного подмножества
.
Потребуем,
чтобы любой элемент
множества
индуцировал
на множестве Ф некоторый закон
распределения следующего вида:
При
этом
,
где
–
вероятности перехода автомата
в состояние
и появления на выходе сигнала
если
он был в
состоянии
и
на его вход в этот момент времени поступил
сигнал
,.
Число таких распределений, представленных
в виде таблиц, равно
числу элементов множества
.
Обозначим
множество этих таблиц
через
.
Тогда
четверка элементов
называется
вероятностным автоматом
(Р-автоматом).
Пусть элементы множества индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах и , что можно представить соответственно в виде:
При
этом
где
и
– вероятности
перехода
Р-автомата
в
состояние
и появления выходного сигнала
при
условии,
что Р-автомат
находился
в состоянии
и
на его вход, поступил
входной сигнал
.
Если
для всех
и
имеет
место соотношение
,
то
такой
Р-автомат называется вероятностным
автоматом Мили. Это
требование
означает выполнение условия независимости
распределений
для нового состояния Р-автомата
и
его выходного сигнала.
Пусть теперь определение выходного сигнала Р-автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данной такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов имеющее следующий вид:
Здесь
где
–
вероятность
появления выходного сигнала
при
условии, что Р-автомат
находился
в состоянии
.