2. Непрерывные случайные величины (нсв)

Пусть - непрерывная случайная величина, которая в результате испытаний приняла значения . Допустим, что вид плотности распределения задан, но не известен параметр , которым определяется эта функция и требуется найти его точечную оценку .

О.1. Функцией правдоподобия НСВ называется функция аргумента вида

.

Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины находят так же, как в случае дискретной величины.

Пример 2. Случайная величина (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение . Известно распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота - количество элементов, проработавших в среднем часов)

	5	15	25	35	45	55	65
	365	245	150	100	70	45	25

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

Решение:

1) Составим функцию правдоподобия, учитывая, что и .

2) Запишем логарифмическую функцию

3) Найдем первую производную по

4) Приравниваем полученную производную к нулю

- критическая точка

5) Найдем вторую производную

Если подставить критическую точку во вторую производную, то она будет отрицательной, следовательно, это точка максимума.

Таким образом, оценкой наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности биномиального распределения является

.

Если появлений события наблюдалось в опытах, то последняя оценка примет вид

6) Применим полученный результат к конкретной задаче

.

Замечание 1. Если плотность распределения непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами и , то функция правдоподобия является функцией двух независимых аргументов и :

.

Далее составляется логарифмическая функция правдоподобия и для нахождения ее максимума составляется и решается система

.

Пример 3. Случайная величина (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с плотностью . Известно распределение отклонения от номинала изделий (в первой строке указано отклонение ; во второй строке приведена частота - количество изделий, имеющих отклонение )

	3	5	7	9	11	13	15
	6	9	16	25	20	16	8

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку параметра и несмещенную точечную оценку параметра нормального распределения.

Решение:

1. Составим функцию правдоподобия, учитывая, что , и .

2) Запишем логарифмическую функцию

3) Найдем частные производные по и по и приравняем их к нулю

Таким образом, оценкой наибольшего правдоподобия неизвестных параметров нормального распределения является

.

Для того, чтобы оценка для была несмещенной вместо необходимо взять .

Если появлений события наблюдалось в опытах, то последняя оценка примет вид

6) Применим полученный результат к конкретной задаче (будем использовать более рациональные формулы)

,

,

,

.

.

Замечание 2. Недостаток метода наибольшего правдоподобия состоит в том, что он часто требует сложных вычислений.