2. Оценка двух параметров

Пусть задан вид плотности распределения , определяемый неизвестными параметрами и . Для получения их оценок необходимо иметь два уравнения относительно этих параметров.

Можно, например, приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка, т.е.

.

Так как известно, что

,

,

,

,

то имеем систему уравнений

.

Решив эту систему уравнений, найдем точечные оценки параметров и .

Пример 2. Случайная величина (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с плотностью . Известно распределение отклонения от номинала изделий (в первой строке указано отклонение ; во второй строке приведена частота - количество изделий, имеющих отклонение )

	3	5	7	9	11	13	15
	6	9	16	25	20	16	8

Найти методом моментов точечную оценку параметра и несмещенную точечную оценку параметра нормального распределения.

Решение: Приравниваем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка, т.е.

.

Эти равенства равносильны системе

.

Как известно для нормального распределения и , т.е. последняя система равносильна системе

.

Поэтому точечной оценкой параметра будет выборочная средняя, а точечной оценкой параметра корень квадратный из выборочной средней. Так как для параметра необходимо найти несмещенную точечную оценку, то вместо надо взять исправленную выборочную дисперсию .

,

,

,

.

.

§10. Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения

Метод наибольшего правдоподобия опирается на использование условий экстремума функции одной или нескольких случайных величин. В качестве такой функции принимают функцию правдоподобия.

1. Дискретные случайные величины (дсв)

Пусть - дискретная случайная величина, которая в результате опытов приняла значения . Также известен общий вид закона распределения величины , но неизвестен параметр , которым определяется этот закон и требуется найти его точечную оценку .

Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина примет значение через .

О.1. Функцией правдоподобия ДСВ называется функция аргумента вида

.

О.2. Оценкой наибольшего правдоподобия параметра называется такое его значение , при котором функция правдоподобия достигает максимума.

Функции и достигают максимума при одном и том же значении , поэтому вместо отыскания максимума функции удобнее найти максимум функции - логарифмической функции правдоподобия.

Правило нахождения максимума функции :

1) Найти производную .

2) Приравнять производную нулю и найти критическую точку - корень полученного уравнения.

3) Найти вторую производную ; если вторая производная при отрицательна, то - точка максимума -, т.е. оценка наибольшего правдоподобия параметра .

Пример 1. Случайная величина (число появлений события в независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром . Известно распределение числа появлений события в 1000 испытаний (в первой строке указано число появлений события в одном опыте из испытаний, во второй строке приведена частота - число опытов, в которых наблюдалось появлений события )

	0	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	10	22	26	20	12	5

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку параметра биномиального распределения.

Решение:

1) Составим функцию правдоподобия, учитывая, что и .

или

2) Запишем логарифмическую функцию

Пользуясь свойствами логарифма, получим

3) Найдем первую производную по

4) Приравниваем полученную производную к нулю

- критическая точка

5) Найдем вторую производную

Если подставить критическую точку во вторую производную, то она будет отрицательной, следовательно, это точка максимума.

Таким образом, оценкой наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности биномиального распределения является

.

Если появлений события наблюдалось в опытах, то последняя оценка примет вид

6) Применим полученный результат к конкретной задаче

.