§8. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии

Пусть генеральная дисперсия неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки.

Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то такая оценка будет смещенной и приведет к систематическим ошибкам. Для устранения смещения выборочной дисперсии ее необходимо умножить на величину .

О.1. Исправленной выборочной дисперсией называется величина

.

В развернутом виде последняя формула может быть записана в виде

.

Или с использованием упрощенной формулы для вычисления дисперсии в виде

.

О.2. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия, т.к.

.

Пример 1. Найти несмещенную оценку генеральной дисперсии на основании данного распределения выборки

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Решение: ;

;

;

.

Замечание 1. Если был осуществлен переход к условным вариантам , то . Если же к условным вариантам , то .

Пример 2. Найти несмещенную оценку генеральной дисперсии на основании данного распределения выборки.

	0,01	0,04	0,08
	5	3	2

Решение:

	1	4	8
	5	3	2

;

;

.

§9. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения

Часто бывает так, что вид распределения случайной величины известен, а неизвестны параметры этого распределения и требуется их оценить. Это можно сделать с помощью метода моментов.

Суть этого метода состоит в том, приравниваются соответствующие теоретические и эмпирические моменты и из полученных уравнений находятся оценки параметров.

1. Оценка одного параметра

Пусть задан вид плотности распределения , определяемый одним неизвестным параметром . Для получения его оценки достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра.

Можно, например, приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка, т.е.

.

Так как известно, что

,

,

то имеем уравнение

.

Решив это уравнение, найдем точечную оценку параметра .

Пример 1. Случайная величина (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона . Известно распределение семян сорняков в пробах зерна (в первой строке указано количество сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота - число проб, содержащих семян сорняков)

	0	1	2	3	4	5	6
	405	366	175	40	8	4	2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Решение: Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка, т.е.

.

Это равенство равносильно равенству .

Как известно для распределения Пуассона , т.е. последнее равенство равносильно .

Поэтому точечной оценкой этого параметра является выборочная средняя.

.