
- •Раздел II. Математическая статистика
- •Тема 1. Задачи математической статистики. Выборочный метод
- •§1. Задачи математической статистики
- •§2. Выборочный метод
- •§3. Типы выборок и способы отбора
- •§4. Вариационные ряды
- •§4. Эмпирическая функция распределения
- •§6. Полигон и гистограмма
- •Тема 2. Статистические оценки параметров распределения
- •§1. Точечные оценки
- •§2. Генеральная и выборочная средние
- •§3. Генеральная и выборочная дисперсии
- •§4. Теоретические и эмпирические моменты
- •§5. Метод произведений для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии
- •1. Равноотстоящие варианты
- •2. Неравноотстоящие варианты
- •§6. Метод сумм для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии
- •§7. Оценка генеральной средней по выборочной средней
- •§8. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
- •§9. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1. Оценка одного параметра
- •2. Оценка двух параметров
- •§10. Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения
- •1. Дискретные случайные величины (дсв)
- •2. Непрерывные случайные величины (нсв)
- •§11. Интервальные оценки
- •§12. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •§13. Доверительные интервалы для вероятности биномиального распределения и параметра распределения Пуассона
- •Тема 3. Элементы теории корреляции (6 ч)
- •§1. Виды зависимостей между случайными величинами
- •§2. Выборочные уравнения регрессии
- •§3. Коэффициент корреляции
- •§4. Линейная корреляция
- •§6. Выборочное корреляционное отношение
- •§7. Криволинейная корреляция
- •§8. Ранговая корреляция
- •§9. Понятие множественной корреляция
- •Тема 4. Проверка статистических гипотез
- •§1. Статистическая гипотеза
- •§2. Виды ошибок
- •§3. Статистический критерий. Критическая область
- •§4. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •§5. Сравнение исправленной выборочной дисперсии и гипотетической генеральной дисперсии нормальной совокупности
- •§5. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны
- •§6. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
§3. Генеральная и выборочная дисперсии
Для характеристики рассеяния значений количественного признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения вводят свободные характеристики – генеральную и выборочную дисперсию (генеральное и выборочное среднее квадратическое отклонение).
О.1. Генеральной
дисперсией
называют среднее арифметическое
квадратов отклонений значений признака
генеральной совокупности от их среднего
значения
.
Замечание 1. Если все значения признака генеральной совокупности объема различны, то
.
Замечание 2. Если значения признака имеют соответственно частоты , причем , то
.
О.2. Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии, т.е.
.
О.3. Выборочной
дисперсией
называют среднее арифметическое
квадратов отклонений значений признака
выборочной совокупности от их среднего
значения
.
Замечание 3.
Если все значения
признака выборочной совокупности
объема
различны, то
.
Замечание 4.
Если значения
признака имеют соответственно частоты
,
причем
,
то
.
Вычисление дисперсии, безразлично – выборочной или генеральной, можно упростить.
Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней, т.е.
.
Замечание 5. Если первоначальные варианты - большие числа, то для упрощения расчета удобнее вычесть из каждой варианты одно и то же число , т.е. перейти к условным вариантам , где - ложный нуль (число приблизительно равное выборочной средней, обычно это варианта расположенная в середине вариационного ряда; если таких вариант две, то лучше выбрать варианту с наибольшей частотой). Тогда
.
Замечание 6.
Если первоначальные варианты
являются десятичными дробями с
десятичными знаками после запятой, то,
чтобы избежать действий с дробями, можно
умножить первоначальные варианты на
постоянное число
,
т.е. перейти к условным вариантам
.
Тогда
.
О.4. Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии, т.е.
.
Замечание 7. При большом числе данных для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии используют метод произведений или метод сумм.
§4. Теоретические и эмпирические моменты
О.1. Начальным
теоретическим моментом
порядка
признака
называется математическое ожидание
величины
,
т.е.
.
В частности
.
Используя начальные теоретические моменты 1-го и 2-го порядков можно записать формулу для вычисления дисперсии
.
О.2. Центральным
теоретическим моментом
порядка
признака
называется математическое ожидание
величины
,
т.е.
.
В частности
.
Для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям теоретических моментов. В отличие от теоретических эмпирические моменты вычисляются по данным наблюдений.
О.3. Обычным эмпирическим
моментом порядка
называют среднее значение
-х
степеней разностей
,
т.е.
,
где - наблюдаемая варианта,
- частота варианты,
- объем выборки,
- произвольное постоянное число (ложный нуль).
О.4. Начальным
эмпирическим моментом
порядка
называют обычный момент порядка
при
,
т.е.
.
В частности
.
О.5. Центральным
эмпирическим моментом
порядка
называют обычный момент порядка
при
,
т.е.
.
В частности
.
О.6. Условным эмпирическим
моментом порядка
называется начальный момент порядка
,
вычисленный для условных вариант
,
т.е.
,
где
-
шаг, разность между двумя соседними
вариантами.
Выборочная средняя и выборочная дисперсия с использованием условных эмпирических моментов могут быть записаны в виде
.