§4. Вариационные ряды

Пусть из генеральной совокупности объема извлечена выборка объема . Причем значение наблюдалось раз, - раз,.., - раз, и .

О.1. Наблюдаемые значения называются вариантами, а их изменение варьированием.

О.2. Число наблюдений каждого значения называется его частотой.

О.3. Отношение числа наблюдений значения к общему объему выборки называется относительной частотой значения , и обозначается .

О.4. Дискретным вариационным рядом распределения (распределением частот) называется перечень вариант в порядке возрастания и соответствующих им частот или относительных частот.

О.5. Интервальным вариационным рядом распределения (интервальным распределением частот) называется упорядоченная в порядке возрастания последовательность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной величины.

Интервальный вариационный ряд записывается для непрерывных случайных величин или для дискретных случайных величин, число значений которых велико.

В качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот значений, попавших в этот интервал.

Если - минимальное значение случайной величины, а - максимальное, то размер интервала определяется по формуле (Стерженса):

.

На практике обычно считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 интервалов.

Пример 1. В супермаркете проводились наблюдения над числом покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения в течение 30 часов дали следующие результаты:

70,75,100,120,75,60,100,120,70,60,65,100,65,100,70,75,60,100,100,120,

70,75,70,120,65,70,75,70,100,100.

Требуется составить дискретный вариационный ряд.

Решение:

	60	65	70	75	100	120
	3	3	7	5	8	4

Пример 2. В городе для определения сроков гарантийного обслуживания проведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет с момента продажи автомобиля магазином. Получен следующий результат (тыс. км.):

3,0; 25,0; 18,6; 12,1; 10,6; 18,0; 17,3; 29,1; 20,0; 18,3; 21,5; 26,7; 12,2; 14,4; 7,3;

9,1; 2,9; 5,4; 40,1; 16,8; 11,2; 9,9; 25,3; 4,2; 29,6.

Требуется составить интервальный вариационный ряд.

Решение:

; ;

; .

1,6-8,6	5
8,6-15,6	7
15,6-22,6	6
22,6-29,6	3
29,6-36,6	2
36,6-43,6	1

§4. Эмпирическая функция распределения

О.1. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события , т.е.

,

где - число вариант, меньших ;

- объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между ними состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая относительную частоту этого же события. Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. При больших объемах выборок значения теоретической и эмпирической функций распределения практически совпадают.

Свойства

Значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

- неубывающая функция;

при , и при .

Пример 1.

Построить эмпирическую функцию по данному вариационному ряду:

	2	6	10
	12	18	30

Решение: