§4. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

На практике необходимость сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений.

Пусть по независимым выборкам, объемы которых и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и .

Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

В этом случае в качестве статистического критерия выбирается величина

.

Значения этого критерия находятся по таблице распределения Фишера – Снедекора.

Рассуждения строятся в зависимости от того, какой вид имеет конкурирующая гипотеза.

Правило 1. Пусть конкурирующая гипотеза имеет вид , если или , если .

1) Вычисляется .

2) По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы ( - объем выборки с большей исправленной выборочной дисперсией, а - с меньшей) находится критическая точка .

3) Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

4) Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Пусть конкурирующая гипотеза имеет вид .

Тогда все вычисления и выводы аналогичны правилу 1, с той лишь разницей, критическую точку ищут по уровню значимости вдвое меньшему заданного, т.е. .

Пример 1. Срок хранения продукции, изготовленной по технологии , составил

Срок хранения		5	6	7
Число единиц продукции		2	4	4

а изготовленной по технологии

Срок хранения		5	6	7	8
Число единиц продукции		1	8	7	1

Предположительно случайные величины распределены по нормальному закону. Проверить нулевую гипотезу при уровне значимости .

Решение:

I. Пусть конкурирующая гипотеза имеет вид .

1) Найдем

2) Найдем

3) Так как , то нулевую гипотезу отвергаем, принимаем конкурирующую.

II. Так как , то в качестве конкурирующей гипотезы может быть принята

1) Найдем

2) Найдем

3) Так как , то нулевую гипотезу отвергаем, принимаем конкурирующую.

§5. Сравнение исправленной выборочной дисперсии и гипотетической генеральной дисперсии нормальной совокупности

По выборке объема найдена исправленная выборочная дисперсия .

Требуется по исправленной выборочной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная генеральная дисперсия равна гипотетическому (предполагаемому) значению :

.

В этом случае в качестве статистического критерия выбирается величина

.

Значения этого критерия находятся по таблице распределения .

Рассуждения строятся в зависимости от того, какой вид имеет конкурирующая гипотеза.

Правило 1. Пусть конкурирующая гипотеза имеет вид .

1) Вычисляется .

2) По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числe степеней свободы находится критическая точка .

3) Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

4) Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Пусть конкурирующая гипотеза имеет вид .

1) Находится левая критическая точка .

2) Находится правая критическая точка .

3) Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

4) Если или - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. Пусть конкурирующая гипотеза имеет вид .

1) Вычисляется .

2) Находится критическая точка .

3) Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

4) Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,1. Взята проба 25 случайных отобранных изделий, причем получены следующие результаты измерений

Размер изделий пробы		3	3,5	3,8	4,4	4,5
частота		2	6	9	7	1

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

Решение: Нулевая гипотеза имеет вид .

Пусть конкурирующая гипотеза имеет вид .

1) Найдем

	-9	-4	-1	5	6
	2	6	9	7	1

2) Найдем

3) Так как - нулевую гипотезу отвергаем и принимаем конкурирующую гипотезу.

Замечание 1. Если число степеней свободы , то критическую точку можно найти из равенства Уилсона – Гильферти

,

где определяется с помощью функции Лапласа из соотношения

.

Пример 2.