§9. Понятие множественной корреляция

Ранее рассматривалась корреляционная связь между двумя признаками.

О.1. Корреляция называется множественной, если исследуется связь между несколькими признаками.

В простейшем случае число признаков равно трем и связь между ними линейная - выборочное уравнение связи.

В этом случае возникают следующие задачи:

1) Найти по данным наблюдений выборочное уравнение связи.

2) Оценить тесноту связи между и обоими признаками .

3) Оценить тесноту связи между и (при постоянном ) или между и (при постоянном ).

Тема 4. Проверка статистических гипотез

§1. Статистическая гипотеза

В математической статистике часто приходится делать различные предположения, например о виде распределения, значении параметров распределения, о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок, и многие другие. В таких случаях говорят о проверке статистических гипотез.

О.1. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Пример 1. 1) Генеральная совокупность распределена по закону Пуассона – статистическая гипотеза;

2) На марсе есть жизнь – не статистическая гипотеза.

О.2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место альтернативная гипотеза.

О.3. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.

О.4. Простой называется гипотеза, если она состоит из одного предположения.

О.5. Сложной называется гипотеза, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

§2. Виды ошибок

Так как решение о справедливости гипотезы принимается на основе выборочных данных, то могут возникнуть ошибки.

О.1. Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза отвергается, а на самом деле она верна.

О.2. Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что принимается, а на самом деле она неверна.

Пример 1. Последствия ошибок

1) Если отвергнуто правильное решение “продолжать строительство жилого дома”, то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб.

2) Если принято неправильное решение “продолжать строительство жилого дома” несмотря на опасность обвала, то эта ошибка второго рода может привести к человеческим жертвам.

О.3. Уровнем значимости называется вероятность совершить ошибку первого рода, т.е.

.

Замечание 1. Наиболее часто уровень значимости принимают равным или .

§3. Статистический критерий. Критическая область

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.

О.1. Статистическим критерием называется случайная величина , которая служит для проверки нулевой гипотезы и зависит от условий решаемой статистической задачи.

О.2. Наблюдаемым значением называется значение критерия, вычисленное по выборке.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.

О.3. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

О.4. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез:

Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Так как критерий - одномерная случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

О.5. Критическими точками (границами) называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Критическая область

односторонняя двусторонняя

правосторонняя левосторонняя

O.6. Правосторонней называется критическая область, состоящая из интервала , где - число, определяемое из условия .

О.7. Левосторонней называется критическая область, состоящая из интервала , где - число, определяемое из условия .

О.8. Односторонней называется правосторонняя или левосторонняя критическая область.

О.9. Двусторонней называется критическая область, состоящая из двух интервалов и , где точки и определяются из условий и .

Замечание 1. Для каждого критерия существуют соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Замечание 2. Отыскивая двустороннюю критическую область при уровне значимости , тем самым находят доверительный интервал с надежностью .