§7. Криволинейная корреляция

Простейшим случаем криволинейной корреляции является параболическая корреляция второго порядка.

В случае параболической корреляции второго порядка выборочное уравнение регрессии на имеет вид

.

Неизвестные параметры определяются (например методом Гаусса) из системы уравнений

,

,

.

Аналогично определяется выборочное уравнение регрессии на

.

Пример 1. Найти выборочное уравнение регрессии

по данным, приведенным в корреляционной таблице. Оценить силу корреляционной связи.

	2	3	5
25	20	-	-	20
45	-	30	1	31
110	-	1	48	49
	20	31	49

Решение:

1) Составим расчетную таблицу

2	20	25	40	80	160	320	500	1000	2000
3	31	47,1	93	279	837	2511	1460	4380	13141
5	49	108,67	245	1225	6125	30625	5325	26624	133121
	100		378	1584	7122	33456	7285	32004	148262

2) Подставим значения из таблицы в формулы для нахождения коэффициентов

3) Решим эту систему методом Гаусса

4) Найдем уравнение регрессии на

5) Найдем выборочное корреляционное отношение

.

§8. Ранговая корреляция

Пусть выборка объема содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками: и . Под качественным подразумевают признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности условимся располагать объекты в порядке ухудшения качества.

Расположим сначала объекты в порядке ухудшения качества по признаку . Припишем объекту, стоящему на - м месте, число – ранг , равный порядковому номеру объекта . Затем расположим объекты в порядке убывания качества по признаку и припишем каждому из них ранг (порядковый номер) , причем (для удобства сравнения рангов) индекс при по прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку .

В итоге получим две последовательности

По признаку :

По признаку :

Для оценки степени связи признаков и служат в частности, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кенделла.

О.1. Выборочным коэффициентом ранговой корреляции Спирмена называется величина равная

,

где - объем выборки.

Замечание 1. Значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена расположены на отрезке .

Пример 1. Знания десяти студентов проверены по двум тестам: и . Оценки по стобалльной системе оказались следующими (в первой строке указано количество баллов по тесту , а во второй – по тесту ).

95	90	86	84	75	70	62	60	57	50
92	93	83	80	55	60	45	72	62	70

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками по двум тестам.

Решение:

1) Присвоим ранги оценкам по тесту .

Эти оценки расположены в убывающем порядке, поэтому их ранги равны порядковым номерам

Ранги	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Оценки по тесту	95	90	86	84	75	70	62	60	57	50

2) Расположим оценки по тесту в убывающем порядке и пронумеруем их

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
93	92	83	80	72	70	62	60	55	45

3) Присвоим ранги оценкам по тесту .

Найдем ранг . Индекс указывает, что рассматривается оценка студента, который занимает по тесту первое место (эта оценка равна 95). Из условия видно, что по тесту студент получил оценку 92, которая в последней таблице расположена на втором месте, т.е. ранг .

Аналогично найдем остальные ранги: .

4) Выпишем последовательности рангов

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2	1	3	4	9	8	10	5	7	6

5) Найдем выборочный коэффициент ранговой корреляции

; .

Пусть ранги объектов выборки объема записаны в виде последовательности

По признаку : ,

По признаку : .

Допустим, что справа от имеется рангов, больших ; справа от имеется рангов, больших ; ….; справа от имеется рангов, больших .

Обозначим сумму рангов как

.

О.2. Выборочным коэффициентом ранговой корреляции Кенделла называется величина равная

.

Пример 2. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кенделла для условия примера 1.

Решение:

1) В примере 1 была найдена последовательность рангов

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2	1	3	4	9	8	10	5	7	6

2) Найдем сумму рангов

3) Найдем выборочный коэффициент ранговой корреляции

.

Замечание 1. Значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кенделла расположены на отрезке .