§6. Выборочное корреляционное отношение
О.1. Корреляция называется криволинейной, если график регрессии – кривая линия.
Для оценки тесноты линейной корреляционной связи между признаками в выборке служит выборочный коэффициент корреляции. Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи используется выборочное корреляционное отношение.
Допустим, что все значения количественного признака совокупности разбиты на несколько групп.
О.2. Групповой средней
называется среднее арифметическое
значений признака, принадлежащих группе.
О.3. Общей средней называется среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.
Замечание 1. Общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенных по объемам групп.
Пример 1. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из двух групп
Группа |
Первая |
|
Вторая |
|
Зн. признака |
1 |
6 |
1 |
5 |
Частота |
10 |
15 |
20 |
30 |
Объем |
10+15=25 |
|
20+30=50 |
|
Решение:
О.4. Групповой дисперсией называется дисперсия значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней,
т.е.
,
где
- номер варианты;
- номер группы;
- объем группы
.
О.5. Внутригрупповой дисперсией называется среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп, т.е.
,
где - объем всей совокупности.
О.6. Межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней, т.е.
.
О.7. Общей дисперсией называется дисперсия значений признака относительно общей средней, т.е.
.
Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е.
.
Пусть данные наблюдений над количественными признаками и сведены в корреляционную таблицу. Тогда можно считать, что наблюдаемые значения разбиты на группы, каждая из которых содержит те значения , которые соответствуют определенному значению .
Замечание 2. Справедливы следующие утверждения
1) Если и связаны функциональной зависимостью, то
.
2) Если и связаны корреляционной зависимостью, то
.
О.8. Выборочным корреляционным отношением к называется отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака , т.е.
,
где
,
.
Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение к .
Свойства корреляционного отношения
1. Корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству
.
2. Если
,
то признак
с признаком
корреляционной зависимостью несвязан.
Верно и обратное.
3. Если
,
то
связан с признаком
функциональной зависимостью. Верно и
обратное.
4. Выборочное корреляционное
отношение не меньше абсолютной величины
выборочного коэффициента корреляции
.
5. Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.
Замечание 3. Выборочное корреляционное отношение служит мерой тесноты связи любой, в том числе и линейной формы.