§2. Выборочные уравнения регрессии

О.1. Условным математическим ожиданием ДСВ , при условии, что ( - определенное значение случайной величины ) называется произведение возможных значений на их условные вероятности, т.е.

.

В случае непрерывных случайных величин условное математическое ожидание определяется по формуле

,

где - условная плотность случайной величины при .

Условное математическое ожидание является функцией аргумента , т.е.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины и функция .

О.2. Уравнение называется уравнением регрессии на ( на ), соответствующая данному уравнению линия на плоскости – линией регрессии на ( на ), а функция ( )называется функцией регрессии или просто регрессией на ( на ).

Линия регрессии в среднем показывает зависимость между соответствующими случайными величинами.

Так как на практике исследователь при изучении зависимости между случайными величинами, как правило, располагает только выборкой, то можно говорить лишь о приближенном выражении для функции регрессии, т.е. об ее оценке. Оценками этих функций служат условные средние, которые находят по результатам выборки.

О.3. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений , соответствующих .

О.4. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений , соответствующих .

Условные средние и являются функциями соответственно от и от , т.е. и .

О.5. Уравнение ( ) называется выборочным уравнением регрессии на ( на ), соответствующая этому уравнению линия на плоскости называется выборочной линией регрессии на ( на ), а функция ( ) – выборочной функцией регрессии или просто регрессией на ( на ) .

§3. Коэффициент корреляции

О.1. Корреляционная зависимость между случайными величинами и называется линейной, если обе функции регрессии и являются линейными.

Для характеристики силы (тесноты) линейной корреляционной зависимости между случайными величинами используется коэффициент корреляции.

О.2. Коэффициентом корреляции называется безразмерная величина , определяемая соотношением

,

где - корреляционный момент;

и - среднее квадратическое отклонение величин и

соответственно.

О.3. Две случайные величины и называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля, иначе – некоррелированными.

Замечание 1. Две коррелированные случайные величины являются зависимыми, однако, обратное утверждение может не выполняться.

Свойства коэффициента корреляции

1. Если и независимые случайные величины, то , однако обратное утверждение неверно.

2. Значения коэффициента корреляции заключены на отрезке или . При этом, чем ближе к единице, тем теснее связь между случайными величинами и .

3. Если , то и связаны линейной функциональной зависимостью.

В качестве оценки коэффициента корреляции генеральной совокупности используется выборочный коэффициент корреляции, который определяется по выборке.

О.4. Выборочным коэффициентом корреляции между случайными величинами и называется величина

,

где - варианты (наблюдавшиеся значения) признаков и ;

- частота пары вариант ;

- объем выборки (сумма всех частот);

- выборочные средние квадратические отклонения.