§13. Доверительные интервалы для вероятности биномиального распределения и параметра распределения Пуассона
1. Интервальной
оценкой (с надежностью
)
неизвестной вероятности
биномиального распределения по
относительной частоте
служит доверительный интервал
,
где
,
- относительная частота,
- общее число испытаний,
- число появлений события,
- значение аргумента функции Лапласа , при котором .
Пример 1. Производятся независимые испытания с одинаковой, но не известной вероятностью появления события в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности с надежностью , если в 60 испытаниях событие появилось 15 раз.
Решение:
;
, тогда ;
,
;
.
Замечание 1. При больших значениях (порядка сотен) в качестве приближенных границ доверительного интервала можно принять значения
.
Пример 2.
Изготовлен экспериментальный игровой
автомат, который должен обеспечивать
появление выигрыша в одном из ста случаев
бросаний монет в автомат. Для проверки
пригодности автомата произведено 400
испытаний, причем выигрыш появился 5
раз. Найти доверительный интервал,
покрывающий неизвестную вероятность
появления выигрыша с надежностью
.
Решение:
;
,
тогда
;
- велико, поэтому
,
;
.
2. Интервальной оценкой (с надежностью ) параметра распределения Пуассона количественного признака по выборочной средней является интервал
,
где
- находят по таблице по заданному
.
Пример 3. На
каждой из 36 АТС города в период с двух
до трех часов было зафиксировано в
среднем 2 вызова. Считая, что число
вызовов для каждой АТС имеет распределение
Пуассона с одним и тем же параметром
,
приближенно найти доверительный интервал
для
с доверительной вероятностью
.
Решение:
;
;
;
;
;
.
Тема 3. Элементы теории корреляции (6 ч)
§1. Виды зависимостей между случайными величинами
Существует два вида зависимостей между случайными величинами: функциональная и статистическая.
О.1.
Зависимость между случайными величинами
и
называется функциональной,
если каждому значению одной величины
соответствует определенное значение
другой величины.
На практике строгая функциональная зависимость между случайными величинами встречается редко.
О.2. Зависимость между случайными величинами и называется статистической, если каждому значению одной величины соответствует определенное (условное) распределение другой величины.
О.3. Статистическая зависимость между случайными величинами и называется корреляционной, если каждому значению одной величины соответствует определенное условное среднее другой величины.
Пример 1.
- урожай зерна; - количество внесенных удобрений.
С одинаковых участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е. не является функцией от . Это объясняется влиянием случайных факторов, например количества осадков, температуры воздуха. Однако как показывает практика средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е. с связаны корреляционной зависимостью.