§11. Интервальные оценки
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
О.1. Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала.
Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок:
1)
Пусть по данным выборки найдена
статистическая оценка
неизвестного параметра
.
Тогда если существует
и выполняется неравенство
,
то чем меньше
,
тем точнее оценка. Т.е.
характеризует точность
оценки.
2) Так как статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству , то можно лишь говорить о вероятности (надежности), с которой это неравенство осуществляется.
О.2. Надежностью
(доверительной
вероятностью)
оценки
по
называется вероятность
,
с которой осуществляется неравенство
,
т.е.
.
Преобразуем последнее выражение следующим образом
.
Это есть вероятность
того, что интервал
покрывает неизвестный параметр
.
О.3. Доверительным называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .
Замечание 1.
Доверительная надежность может быть
представлена в виде
,
где
- уровень значимости.
§12. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности является интервал
,
где
- точность оценки;
- объем выборки;
- значение аргумента
функции Лапласа
,
при котором
.
Пример 1.
Найти доверительный интервал для оценки
с надежностью
неизвестного математического ожидания
нормально распределенного признака
генеральной совокупности, если генеральное
среднее квадратическое отклонение
,
выборочная средняя
и объем выборки
.
Решение:
Из соотношения
по таблице находим
.
Подставив все известные значения, получим
.
2. Интервальной
оценкой (с надежностью
)
математического ожидания
нормально распределенного количественного
признака
по выборочной средней
при неизвестном среднем квадратическом
отклонении
генеральной совокупности и объеме
выборки
является интервал
,
где
- исправленное среднее квадратическое
отклонение;
- находят по таблице
по заданным
и
.
Пример 2.
По данным девяти независимых равноточных
измерений некоторой физической величины
найдены среднее арифметическое
результатов измерений
и исправленное среднее квадратическое
отклонение
.
Оценить значение измеряемой величины
с надежностью
.
Предполагается, что результаты измерений
распределены нормально.
Решение:
По известным
и
из таблицы находим
.
Подставив все известные значения, получим
.
3. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению является интервал
при
.
при
,
где
- находят по
таблице по заданным
и
.
Пример 3. Произведено
12 измерений одним прибором (без
систематической ошибки) некоторой
физической величины, причем по данным
выборки найдено исправленное среднее
квадратическое отклонение
случайных ошибок измерений. Найти
точность прибора (точность прибора
характеризует среднее квадратическое
отклонение случайных ошибок измерений)
с надежностью
.
Предполагается, что результаты измерений
распределены нормально.
Решение:
По известным
и
из таблицы находим
.
Подставив все известные значения, получим
.