Раздел II. Математическая статистика

Тема 1. Задачи математической статистики. Выборочный метод

§1. Задачи математической статистики

Теория вероятностей всегда имеет дело с уже заданным распределением случайных величин, на основании чего определяются их интересующие характеристики. Однако на практике как распределена случайная величина чаще всего неизвестно. В этом случае на помощь приходит математическая статистика.

Математическая статистика (МС) изучает методы сбора, обработки и анализа данных, получаемых в результате наблюдений массовых случайных явлений.

Задачи, решаемые методами МС:

1. Изучение большой совокупности объектов по небольшому их количеству, извлеченному из всей совокупности случайным образом (выборочный метод).

2. Выяснение характера распределения, нахождение приближенных значений параметров распределения.

3. Определение формы и силы связи между случайными величинами.

§2. Выборочный метод

О.1. Генеральная совокупность - это общая группа предметов, подлежащих статистическому исследованию.

Группа предметов может быть большой, поэтому физически невозможно исследовать всю генеральную совокупность. К тому же затраты на сбор данных во всей генеральной совокупности очень высоки, да и риск ошибки многократно возрастает. Кроме того, наблюдение может быть связано с уничтожением исследуемого образца (например, проверка качества консервов). Поэтому гораздо выгоднее отобрать из всей группы предметов некоторое ограниченное число предметов и подвергнуть их изучению.

О.2. Отобранные из генеральной совокупности объекты и подлежащие изучению, называются выборочной совокупностью или просто выборкой.

О.3. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют число объектов этой совокупности.

§3. Типы выборок и способы отбора

Различают два основных типа выборок: повторная и бесповторная.

О.1. Выборка называется повторной, если отобранный объект, перед отбором следующего, возвращается в генеральную совокупность.

О.2. Выборка называется бесповторной, если отобранный объект, перед отбором следующего, не возвращается в генеральную совокупность.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке она должна быть репрезентативной.

О.3. Выборка называется репрезентативной (представительной), если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую возможность попасть в выборку.

Существует два основных способа отбора:

1. Отбор, не требующий разбиения генеральной совокупности на части:

a) случайный бесповторный отбор, при котором объекты извлекаются из всей генеральной совокупности по одному случайным образом без возвращения.

Пример 1. Одним станком изготовлено 50 деталей. Для проверки на стандартность случайным образом отбирают три детали, причем каждую выбранную деталь перед выбором следующей в генеральную совокупность не возвращают.

b) случайный повторный отбор, при котором объекты извлекаются из всей генеральной совокупности по одному случайным образом с возвращением.

Пример 2. Одним станком изготовлено 50 деталей. Для проверки на стандартность случайным образом отбирают три детали, причем каждую выбранную деталь перед выбором следующей возвращают в генеральную совокупность.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части:

a) типический отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее типической части.

Пример 3. Если детали изготовлены несколькими станками, то отбор для проверки на стандартность может производится не из всей совокупности деталей, а из продукции каждого станка в отдельности.

b) механический отбор, при котором генеральную совокупность механически делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

Пример 4. Одним станком изготовлено 100 деталей. Пусть необходимо проверить на стандартность 5 деталей. В этом случае можно отобрать каждую двадцатую изготовленную деталь.

c) серийный отбор, при котором объекты выбираются из всей генеральной совокупности не по одному, а сериями и подвергаются сплошному обследованию.

Пример 5. Если изделия изготавливаются большой группой станков, то подвергают сплошному обследованию только продукцию нескольких станков.

На практике чаще всего применяется комбинированный отбор.