19. Жиын уғымы. Жиынның элементтері

Жиын ұғымы математикада негізгі (анықтауға болмайтын, бастапқы) ұғым болып саналады. Жиын құратын кез-келген нәрселер (адамдар, үйлер, кітаптар, елдер, геометриялық фигуралар, сандар т. б.) оның элементтері деп аталады. Жиын мен оның элементтерінің арасындағы «элементті болады» деген байланысты «тиісті» сөзінің көмегімен де білдіруге болады.

Жиындардың жазылуы мен оның берілу тәсілдері.Егер әрбір нәрсе туралы оның жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.Жиынды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беруге болады. Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын нәрселердің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиеттіcипаттамалық қасиет деп атайды. Сонымен, қандай да бір жиын берілген болуы үшін не оның элементтерін атап шығу, не оның элементтеріне тән қасиетті көрсету керек.

Жиындарға қолданылатын амалдар. А және В жиындарының қиылысуы деп А және В жиындарының екеуіне де енетін элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды атайды. А және В жиындарының қиылысуын А∩В өрнегімен белгілейді, мұндағы ∩ - жиындардың қиылысуы белгісі. А және В жиындарының бірігуі деп не А, не В жиындарының ең болмағанда біреуіне енетін элементтерден тұратын жиынды айтады.А және В жиындарының бірігуін А∪В деп белгілейді. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының айырмасын А\В символы арқылы белгілейді. Жиындардың теңдігі. Жоғарыда анықталған кірістіру символы бойынша жиындардың теңдігі анықталады.Егер және жиындары үшін және кірістірулері бірдей орындалса, онда және жиындары тең дейді де , символымен белгілейді.

20. Оң және теріс сандар.Натурал сандар мен теріс сандар жиынынан және нөл санының бірігуінен тұратын андарды бүтін сандар деп атайды. Бүтін сандар жиынын Z әріпімен белгілейді: Z = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}Бүтін сандар сан тузуінің бойындағы нүктелерді кескіндейді. 1-суретте тузу бойында екі нукте берілген О нүктесі санақ болсын, В бірлікнүктені білдіреді (О нүктесінен оңға қарай 1 өлшем қашықтықта орналасқан ).Т үзу бойында нүктенің орнын білдіретін сан осы нүктенің координаты деп аталады. Санақ басы мен бірдік кесінді таңдап алынған және оң бағыты көрсетілген кесіндіні координат осі деп атайды.Координат осіне а мен в сандарын орналастырсақ, олардың қайсысы кіші болса, сонысы екіншінің сол жағына орналасады (координат оң бағыт бойынша). Сан осінде оң сан нөлдің оң жағына, теріс сан нөлдің сол жағына орналасады. О саны сан өсін оң сан мен теріс сандарға бөледі. О санының өзі оң санға да теріс санға да жатпайды. Барлық натурал сандар мен нөл санын бірге қарастырғанда теріс емес бүтін сандар N деп аталады, оны N деп белгілейді. а мен –а сандарын қарама-қарсы сандар деп атайды. Әрбір сан үшін оған бір ғана қарама-қарсы сан болады. Нөлге қарама-қарсы сан болады. Нөлге қарама-қарсы сан 0-дің өзі. Қарама-қарсы сандарды координат осіне белгілегенде олар санақ басына қатысты симметриялы нүктелерді кескіндейді. Екі қарама-қарсы санның қосындысы нөлге тең, яғни а+ (-а)=0.Теріс емес санын а санының модулі деп атайды, ол түрінде анықталады.Оң санның модулі сол санның өзіне тең, нөлдің модулі 0, теріс санның модулі – оған қарама-қарсы сан. Мысалы, . Сонымен . Санның модулі санақ басынан осы санды кескіндейтін нүктеге дейінгі арақашықтыққа тең. Арақашықтық ОВ бірлік кесіндінің көмегімен өлшенеді.Егер координат өсінен екі теріс сан белгіленсе, онда сол жақта орналасқан санның модулі үлкен болады. Сонымен , -а мен –в екі теріс санның модулі үлкені кіші болады. –а<-в егер Мысалы, -8<-5, себебі . Теріс сан ұғымы ендірілгеннен соң барлық жағдайда азайту амалы орындалады. а-в айырмасының мәні а<в болса да бар болады.Оң сандар мен теріс сандарды: келешек уақыт пен өткен уақытты, жарыста ұтып алған және ұтқызған ұпайды, кіріс пен шығысты, кассаға түскен ақша мен онан берілген ақшаны т.б. белглеу үшін қолдануға болады.Мұнан мың жылдай уақыт бұрын Индия математиктері мүлікті оң санмен, ал борышты теріс санмен белгілеген.Шамалардың өзгеруі. Біз оң сандар мен теріс сандарды шамалардың өзгеруін өлшеу үшін де қолдануымызға болады, сонда саннның артуын оң санмен, кемуін теріс санмен жазамыз. Мысалы, оң санмен температураның артуын жоғарлауын, теріс санмен оның төмендеуін жазып көрсетуге болады.Рацонал сандар.Оң сандар (бүтін және бөлшек), теріс сандар (бүтін және бөлшек) және нөл рационал сандар жиынын құрастырады.Бұл жиынға кіретін сандардың әр түріне, олардың белгілену тәсіліне қысқаша шолу жасайық. Арифметикада біз 0, 1, 2, 3, 4,...бүтін сандарды қарастырамыз. Бүтін оң 1, 2, 3, 4,... сандары натурал сандар деп аталады. -1, -2, -3,...жалпы алғанда – n сандарын да бүтін сандар деп санаймыз, мұндағы n- натурал сан. Сөйтіп барлық бүтін сандардың ...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,.. қатары екі жаққа қарай шексіз кете береді. Арифметикада бүтін сандармен қатар бөлшек сандар да қарастырылады. Арифметикадан белгілі бөлшек сандарды біз енді оң бөлшек сандар деп атайтын боламыз. Оң бөлшек санның қандайын боса да = , ,бөлшек түрінде жазуға болады. Мұнда бөлшектің алымы мен бөлімі- натурал сандар. Біз бұл арада оң бөлшек санның қандайын болса да натурал алымы, натурал бөлімі бар бөлшек түрінде көптеген (тіпті шексіз көп) әдіспен жазуға болатынын көріп отырмыз. Осы тектес бөлшек түрінде қандай натурал санды болса да жазуға болатынын айта кетейік. .- r саны теріс бөлшек сан деп аталады. Мұндағы r- оң бөлшек сан. Мысалы: ; . Оң және теріс бөлшек сандар тұтас алғанда тек бөлшек сандар деп аталады. Бөлшек сандар мен бүтін сандар бірігіп, алгебраның алтыншы, жетінші кластарындағы шегінен шығып кете алмайтынын сандар запасын құрайды.Ескерту: Рационал санның қандайын болса да бөлшегі түрінде жазуға болады. Мұндағы натурал сан, ал бүтін сан. Мысалы: ; ;