19. Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть две плоскости π1 и π2 заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 Очевидно что вопрос об определении угла между указанными плоскостями сводится к определению угла φ(фи) между их нормальными векторами n1={A1,B1,C1} и n2={A2,B2,C2}(так как две любые пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равных π. Нам достаточно определить один из этих углов.)Из определения скалярного произведения n1n2=|n1||n2|cosф и из выражения в координатах длин векторов n1 и n2 и их скалярного произведения получим cosф=(A1A2+B1B2+C1C2)/√(A1²+B1²+C1²)*√(A2²+B2²+C2²) (С помощью этой формулы опр. угол между плоскостями.)Условие паралельности плоскостей π1 и π2, эквивалентное условию коллинеарности векторов n1 и n2, заключается в пропорциональности координат этих векторов то есть имеет вид A1/A1=B1/B2=C1/C2Условие пераендикулярности плоскостей π1 и π2 может быть может быть извлечено из формулы cosф=(A1A2+B1B2+C1C2)/√(A1²+B1²+C1²)*√(A2²+B2²+C2²) (при cosф=0) или выражено равенством нулю скалярного произведения векторов n1 и n2. оно имеет вид: A1A2+B1B2+C1C2=0

20.Три способа задания прямой в пространстве. Прямая как пересечение двух различных непараллельных плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Переход между различными видами уравнений прямой в пространстве.

Способы задания прямой: 1)Векторно-параметрическое уравнение прямой

r=r0+at где М0(r0)=M0(x0;y0;z0)-фиксированная точка, лежащая на прямой; a=(l;m;n)-направляющий вектор

В координатах (параметрические уравнения): x=x0+lt; y=y0+mt; z=z0+nt2)канонические уравнения прямой(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n

3)Прямая как линия пересечения двух плоскостей

при условии что не имеют место равенства A1/A2=B1/B2=C1/C2

где

Прямая может быть задана как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных, например, общими уравнениями:

A1x + B1y + C1z = D1,

A2x + B2y + C2z = D2.

Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида относительно параметра Л(лямбда)

легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида

21.Принадлежность двух прямых плоскости. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

Для принадлежности двух прямых плоскости необходимо и достаточно чтобы вектора

; M1M2={X-X1;Y-Y1;Z-Z1} БЫЛИ КОМПЛАНАРНЫ

|x-x1 y-y1 z-z1|

|A1 B1 Z1 | =0

|A2 B2 Z2 |

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

22. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: совпадающие, параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Расстояние между ними.

Если прямые заданы уравнениями

и

то они:

1) параллельны (но не совпадают)

2) совпадают

3) пересекаются

4) скрещиваются

Если

то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):

1)

2)

3)

4)

Расстояние между двумя параллельными прямыми