![](/user_photo/1363_n5AgO.jpg)
- •1.Понятие векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов. Модуль вектора. Линейные операции над векторами: умножение на число и сложение векторов. Их свойства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Общие свойства линейной зависимости
- •3. Критерий линейной зависимости двух векторов. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.
- •5.Базис на плоскости и в пространстве. Координаты и компоненты вектора. Ортонормированный базис. При линейных операциях над векторами координаты складываются и умножаются на число.
- •6.Проекция вектора на ось, ее выражение и простейшие свойства. Скалярное произведение двух векторов. Определение скалярного произведения. Геометрические свойства скалярного произведения.
- •7.Определение скалярного произведения. Алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Орт вектора.
- •8.Правые и левые тройки векторов и системы координат. Определение векторного про изведения двух векторов. Геометрические свойства векторного произведения.
- •9.Алгебраические свойства векторного произведения. Определители 2 и 3 порядка. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •19. Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности и перпендикулярности плоскостей.
- •21.Принадлежность двух прямых плоскости. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
- •22. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: совпадающие, параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Расстояние между ними.
- •23.Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности, перпендикулярности и принадлежности прямой плоскости.
- •24.Расстояние от точки до прямой в пространстве. Способ нахождения.
- •25.Условие того, что две прямые скрещиваются. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •26.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.
- •27.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства
- •29. Уравнение кривой второго порядка. Определение центральной кривой. Необходимое и достаточное условие того, что кривая является центральной. Инварианты.
- •31.Преобразование декартовых координат при повороте осей. Преобразование коэффициентов уравнения второго порядка при повороте осей.
- •32.Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Случай центральной кривой
- •34 Классификация кривых второго порядка. Связь с инвариантами
- •35.Каноническое уравнение эллипсоида. Исследование формы методом сечений
- •36Гиперболоиды. Каноническое уравнение.. Исследование их формы методом сечений.
- •37Параболоиды. Каноническое уравнение. Исследование их формы методом сечений
- •38Цилиндрические и конические поверхности. Их уравнения.
- •39. Раздел № 4. Матрицы. Определители. Обратные матрицы
- •40. Матрицы. Действия над матрицами (произведение на число, сложение матриц). Операция умножения матриц, ее свойства
- •Свойства операции транспонирования матриц:
- •44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
- •45Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы.
5.Базис на плоскости и в пространстве. Координаты и компоненты вектора. Ортонормированный базис. При линейных операциях над векторами координаты складываются и умножаются на число.
1.
Говорят, что три линейно независимых
вектора a,b,c
образуют в пространстве базис, если
любой вектор d
может быть представлен в виде некоторой
линейной комбинации векторов a,b,c,
т.е. если для любого вектора d
найдутся такие вещественные числа
k,j,h,
что справедливо равенство d=ka+jb+hc(2.17).
2.Говорят,
что два лежащих в плоскости П линейно
независимых вектора a,b
образуют на этой плоскости базис, если
любой лежащий в плоскости П вектор c
может быть представлен в виде некоторой
линейной комбинации векторов a,b
, т.е.если для любого лежащего в плоскости
П вектора с
найдутся такие вещественные числа k,j,
что справедливо равенство c=ka+jb.
Фундаментальные утверждения: 1.Любая
тройка некомпланарных векторов a,b,c
образует базис в пространстве;2.Любая
пара лежащих в данной плоскости
неколлинеарных векторов a
и b
образует базис на этой плоскости.
Равенство (2.17) принято называть разложение
вектора d
по базису a,b,c,
а чисал k,j,h
– координатами вектора d
относительно базиса a,b,c.
Каждый вектор d
может быть единственным способом
разложен по базису a,b,c.
Теорема 2.7.При сложении двух векторов
d1
и d2
их координаты (относительно любого
базиса a,b,c)
складываются. При умножении вектора d1
на любое число m все его координаты
умножаются на это число. Д-во:
Пусть d1=k1a+j1b+h1c,
d2=k2a+j2b+h2c.
Тогда в силу свойств 1-7 линейных операций
d1+d2=(k1+k2)a+(j1+j2)b+(h1+h2)c,
md1=(mk1)a+(mj1)b+(mh1)c.
В силу единственности разложения по
базису теорема доказана. Афинными
координатами любой точки М называются
координаты вектора ОМ( относительно
базиса a,
b, c).
В случае декартовой прямоугольной
системе координат базисные вектора
принято обозначать буквами i,
j, k
. Каждый из векторов i,
j , k
имеет длину, равную единице, причем три
эти вектора взаимно ортогональны(направления
этих векторов совпадают с направлениями
осей Ох, Оу, Oz соответственно) Каждый
вектор d
может быть, и притом единственным
способом, разложен по декартовому
прямоугольному базису I,j,k
,т.е. для каждого вектора d
найдется, и притом единственная тройка
чисел X,Y,Z)
такая , что справедливо равенство
d=Xi+Yj+Zk.
Числа X,Y,Z
называются декартовыми прямоугольными
координатами вектора d
. d={X,Y,Z}.=
6.Проекция вектора на ось, ее выражение и простейшие свойства. Скалярное произведение двух векторов. Определение скалярного произведения. Геометрические свойства скалярного произведения.
Прежде
всего определим проекцию вектора а=AB
на произвольную ось u. Обозначим буквами
А’ и B’ основания перпендикуляров
опущенных на ось u из точек А и В
соответственно. Проекцией вектора а=АВ
на ось u называется величина A’B’
направленного отрезка A’B’ оси u . Угол
наклона вектора а к оси u может быть
определен, как угол фи между двумя
выходящими из произвольной точки M
лучами, один из которых имеет направление,
совпадающее с направлением вектора
а=АВ,
а другой – направление, совпадающее с
направлением оси u.
Теорема. Проекция вектора а
на ось u равна длине вектора а
, умноженной на косинус фи угла наклона
вектора а
к оси u. Основные свойства проекции
вектора на ось заключаются в том, что
линейные операции над векторами приводят
к соответствующим линейным операциям
этих векторов на произвольную ось.
Утверждение: При сложении двух векторов
d1
и d2
их проекции на произвольную ось u
складываются. При умножении вектора d1
на любое число m проекция этого вектора
на произвольную ось u также умножаются
на число m. 1) Скалярным произведением
двух векторов называется число, равное
произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними. ab=
cosфи.
2) Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению
длины одно из этих векторов на проекцию
другого вектора на ось, определяемую
первым из указанных векторов. Теорема
2.10. Необходимым и достаточным условием
ортогональности двух векторов является
равенство нулю их скалярного произведения.
Д-во: 1)Необходимость. Пусть векторыа
и b
ортогональны, фи – угол между ними.
Тогда cosфи=0 и в силу определения скалярного
произведения, ab
равно нулю. 2) Достаточность. Пусть
скалярное произведение ab
равно нулю. Докажем, что векторы a
и b
ортогональны. Прежде всего исключаем
тривиальный случай, когда хотя бы один
из векторов a
или b
является нулевым( нулевой вектор имеет
неопределенное направление, и его можно
считать ортогональным любому вектору).
Если же оба вектора a
и b
ненулевые, то
>0
и
>0
, и поэтому из равенстваab=0
и из определения вытекает, что cosфи=0,
т.е. векторы a
и b
ортогональны. Теорема доказана. Теорема
2.11. Два ненулевых вектора a
и b
составляют острый(тупой) угол тогда и
только тогда, когда их скалярное
произведение положительно(отрицательно).
Д-во: Так как векторы a
и b
ненулевые, то в силу определения
скалярного произведения, знак скаляр.
произведения совпадает со знаком cosфи.
Но если угол фи не превосходит Пи, то
cosфи положителен тогда и только тогда,
когда фи – острый угол, и отрицателен
тогда и только тогда, когда фи – тупой
угол. Теорема доказана.