7.Определение скалярного произведения. Алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Орт вектора.

1) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. ab=cosфи. 2) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одно из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Свойства: 1)ab=ba(переместительное); 2) (ma)b=m(ab)(сочетательное относительно числового множителя); 3) (a+b)c=ac+bc( распределительное относительно суммы векторов); 4)aa>0, если а-ненулевой вектор, и аа=0, если а-нулевой вектор. Теорема 2.12. Если два вектора а и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={X1,Y1,Z1}, b={X2,Y2,Z2}, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. ab=X1X2+Y1Y2+Z1Z2(2.33). Д-во: составим из тройки базисных векторов i,j,k все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем скалярное произведение. Учитывая, что базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим ii=1,ji=0,ki=0,ij=0,jj=1,kj=0,ik=0,jk=0,kk=1(2.34). Далее, учитывая, что а=X1X2ii+X1Y2ij+X1Z2ik+Y1X2ji+Y1Y2jj+Y1Z2jk+Z1X2ki+Z1Y2kj+Z1Z2kk. Из этого равенства и соотношений (2.34) вытекает формула (2.33).Теорема доказана. Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов a={X1,Y1,Z1}, b={X2,Y2,Z2} является равенство X1X2+Y1Y2+Z1Z2=0. Следствие 2. Угол фи между векторами a и b определяется по формуле cosфи=, в самом деле cosфи=

8.Правые и левые тройки векторов и системы координат. Определение векторного про изведения двух векторов. Геометрические свойства векторного произведения.

Три вектора называются упорядоченной тройкой {или просто тройкой), если указано, какой

из этих векторов является первым, какой — вторым и какой — третьим. Тройка не компланарных векторов abc называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трех условий: 1° если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки; 2° если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и Ь, откуда кратчайший поворот от а к Ь кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке); 3° если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами а, Ь, с, мы видим поворот от а к Ь и от него к с совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке). Замечание. Понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных векторов. Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются левыми, то говорят, что эти тройки одной ориентации. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку. Векторным произведением, вектора а на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом с = [ab] и удовлетворяющий следующим трем требованиям: 1) длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла ф между ними *), т. е. | с I = | [ab] | = | а 11Ы sin Ф; 2) вектор с ортогонален к каждому из векторов а и Ь; 3) вектор с направлен так, что тройка векторов abc является правой. Теорема 2.13. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Доказательство. 1) Необходимость вытекает из самого определения векторного произведения: для коллинеарных векторов а и b векторное произведение по определению равно нулю 2) Достаточность. Пусть векторное произведение [ab] равно нулю. Докажем, что векторы а и b коллинеарны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов а или b является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать коллииеарным любому вектору). Если же оба вектора а и b ненулевые, то |а|>0 и |Ь|>0, и поэтому из равенства [ab] = О и из формулы B.38) вытекает, что sin q> = 0, т. е. векторы а и b коллинеарны. Теорема доказана. Теорема 2.14. Длина (или модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь. Доказательство. Так как площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними, то теорема непосредственно вытекает из формулы B.38). Чтобы получить следствие из теоремы 2.14, введем понятие орта. Ортом произвольного ненулевого вектора с назовем единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с с направление. Теорема 2.15. Если с — какой-нибудь вектор, я— любая содержащая его плоскость, е — единичный вектор, лежащий в плоскости я и ортогональный к с, g— единичный вектор, ортогональный к плоскости я и направленный так, что тройка ecg

является правой, то для любого лежащего в плоскости п вектора а справедлива формула [ac] = nPea*|c|g.