6.4.2. Рождение Диофантова анализа

Диофант Александрийкий (III в. н.э.) будучи крупнейшим математиком III века и последним великим математиком античного мира, первый в Александрийской школе занялся алгебраическим направлением. О его частной жизни говорит лишь могильная эпитафия: “Бог ниспослал ему быть мальчиком 1/6 часть жизни. Добавив к сему 1/12 часть, Он покрыл его щеки пушком. После 1/7 части Он зажег ему "свет супружества и через 5 лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, был унесен безжалостным Роком. Через 4 года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он (Диофант) завершил свою жизнь”. По данным этой эпитафии-загадки нетрудно составить уравнение, из которого следует искомый срок жизни – 84 года.

Основное сочинение Диофанта – “Арифметика”, от которого до нас дошло лишь 6 томов из 13, – представляет собой собрание остроумно решенных алгебраических и арифметических задач общим числом 189. Однако как постановка многих из этих задач, так и методы решения, предложенные автором, резко отличаются от всех предшествующих разработок и, по существу, открывают новые направления в алгебре. Наибольший интерес представляют задачи на решение алгебраических уравнений и особенно, т.н. “неопределенных уравнений” – уравнений в целых числах. Предложенные им методы их решений были впоследствии оценены и продолжены в работах Виета и Ферма. Диофант впервые использовал буквенную алгебраическую символику, а также употреблял отрицательные числа и знал правило их умножения. В качестве конкретных примеров он рассматривает решения уравнений Ах² + Вх + с = у², Ах³ + Вх² +Cx + D = у², а также строит решения для “пифагоровых троек” х² + у² = z². Именно отсюда впоследствии родилась знаменитая “Великая теорема Ферма”. История этой теоремы началась у Ферма во время чтения “Арифметики” Диофанта (изданной в 1621 г. французским математиком Баше де Мезириаком, создателем общей теории неопределенных уравнений первой степени), когда он на полях этой книги против задачи о представлении полного квадрата в виде суммы двух квадратов написал: “Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я дал этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него”.

Диофантом введены термины “квадрат”, “куб”, “квадратокуб”, “кубокуб”. Диофант же начал широко использовать степени неизвестного х от -1 до 6, тогда как греки античной эпохи игнорировали произведения более чем трех сомножителей, считая их не имеющими геометрического смысла. Вычитание он обозначал знаком “ ”. И поныне системы алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами, имеющие целочисленные и рациональные решения, называются диофантовыми уравнениями, а сама область математики, связанная с их решением, – диофантовым анализом. Примером являются “уравнения Пелля” вида: х² - 26у² = 1 или х² - 30у² = 1, впервые также изученные Диофантом. Наибольшую известность получило уравнение Пелля вида х² - ау² = 1, частные случаи которого рассматривались древнегреческими и индусскими математиками. Так при а=4729494 оно возникало в знаменитой архимедовой “задаче о быках”, а при а=1096 1496 433 его решал П. Ферма и ряд английских математиков XVII в. (Валлис и др.). Кстати, название “Уравнение Пелля” дал Эйлер, полагая, что Пелль, которого часто цитировал Валлис, строил его решение. В действительности же Пелль не имел к этому уравнению никакого отношения.

К сожалению, рукопись “Арифметики” Диофанта была обнаружена (Региомонтаном) в библиотеке Ватикана только в 1464 г., т.е. более чем через 1000 лет после её написания. Поэтому только с этого времени она начала стимулировать европейскую науку и в первую очередь – алгебру. Оценивая роль Диофанта в истории алгебры, знаменитый математик XIX века К. Гаусс писал: “Эта книга [“Арифметика”] рассматривается как эпоха в развитии математики…потому, что она содержит в себе первые следы искусства, характерного для алгебры”.

Живший после Диофанта Папп Александрийский (IV в. н.э.) был первым в истории популяризатором математических знаний. Его книга “Математическое собрание” в 8 томах резюмирует основные результаты античных авторов, зачастую утраченные в оригинале, хотя частично отражает и собственные достижения Паппа, такие, как построение “платоновых тел” в шаре, квадратура спирали на шаре, описание ряда изопериметрических фигур. Здесь же представлена и широко известная “задача Паппа”, заключающаяся в нахождении плоской кривой, расстояния каждой точки которой от заданной системы прямых состоят в некотором постоянном соотношении между собой. Затронуты также и некоторые механические проблемы: доказывается знаменитая “теорема Паппа-Гюльдена” об объеме тел вращения, а также устанавливается, что скорости вращения сцепленных зубчатых колес обратны их диаметрам! Главная ценность книги Паппа состоит в том, что в ней изложены многие результаты древних авторов, отсутствующие в других книгах. Так именно здесь собраны различные сведения о 3-х знаменитых задачах древности (квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба). Также только здесь сохранилась информация об архимедовых телах. Имеется и оригинальное суждение о минимаксных свойствах пчелиных сот! Затронуты также вопросы прикладной механики и даны описания подъемных машин – домкрата, ворота, полиспаста, кабестана и др. Некоторые из доказанных Паппом теорем послужили основой для зарождения в XVII веке в работах Дезарга и Паскаля начал проективной геометрии. Интересно привести следующее высказывание Паппа о механике: “Из всех искусств, основанных на механике, самым важным в практической жизни являются следующие: искусство мастеров, делающих полиспасты и катапульты, а также строителей водочерпальных устройств”.