5.5.3. Птолемеева система Мироздания

Ключевой фигурой, завершающей блестящую шеренгу древнегреческих астрономов и подытоживающей их достижения, явился самый знаменитый астроном Древнего Мира Клавдий Птолемей (90 – 165 гг. н.э.), один из “последних могикан” второй Александрийской школы. Хотя его научная деятельность началась 250 лет спустя после смерти Гиппарха, он, несомненно, стал его прямым преемником и продолжателем. Его имя наводит на мысль, что он, возможно, был в родственных связях со знаменитой династией Александрийских царей – Птолемеев, – однако доказательств этого не найдено. О его жизни и контактах с современниками также никаких сведений не осталось, однако, почти все его сочинения сохранились и приобрели широкую известность. В этом отношении у него есть что-то общее с Архимедом, хотя в отличие от него, окруженного коллегами и оппонентами, фигура Птолемея чрезвычайно одинока – от ближайшего предшественника его отделяет 250 лет, а ближайшие последователи появились только в XII в. н.э.

Судя по ссылкам из его сочинений, он в возрасте 27 лет начал свои астрономические наблюдения и продолжал их в течение 14 лет. После этого он 9 лет работал над главным трудом своей жизни, который назвал “Математическое построение в 13 книгах”. Арабские переписчики превратили его в “Альмагест”, под которым он и вошел в науку. В возрасте ~ 50 лет Птолемей отошел от астрономии, занявшись оптикой, а затем географией. Причиной его смерти в 165 г. н.э. стала, по-видимому, бушевавшая тогда в Александрии чума (население города уже превышало 600 тыс. человек).

Трактат “Альмагест” дает энциклопедическое изложение древнегреческой астрономии (его объем в английском переводе составляет 647 страниц), на основе чего автор строит свою знаменитую кинематическую и математическую модель “птолемеевой системы Мироздания”. При этом Птолемей проводит чёткую грань между аристотелевой “физикой” и пифагоровой “математикой”: под физикой он понимает изучение природы “подлунного мира”, а под математикой – “надлунного”, т.е. всего внешнего Мироздания. Отдавая предпочтение именно этому изучению, он подчёркивает его названием своего сочинения, надолго установив тем самым некий “приоритет” математики перед физикой. В первой книге “Альмагеста” автор “доказывает” геоцентрическую систему со сферической невращающейся Землей в ее центре и “опровергает” гипотезы Гераклида Понтийского и Аристарха Самосского о собственном вращении Земли. Здесь же излагаются элементы сферической тригонометрии, основанной на использовании вместо функций sinA и cosA хорд угла A: , где R = 60 единицам, в которых выражена длина хорды. Громоздкость такого аппарата видна из сравнения выражения половинной хорды и половинного угла:

(5.6)

Тем не менее, в книге 2 посредством этого аппарата автор решает целый ряд задач сферической тригонометрии, причем в некоторых из них он даже использует знак нуля, которого не было у его предшественников. В приложении к трактату Птолемей приводит вычисленную им таблицу хорд для дуг от 0^о до 180^о через 0,5^о. Также он доказывает теорему Птолемея: ”Для вписанного в окружность 4-угольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.”

С работ Птолемея получает широкое распространение вавилонская практика деления суток на 24 часа, хотя 12 дневных и 12 ночных часов имеют ещё разную продолжительность. В книгах 3 и 4 описываются неравномерности движения Солнца и Луны, а в книге 5 строится математическая теория лунных аномалий, основанная на использовании понятий эксцентра и эпицикла. В 6-й книге излагается теория солнечных и лунных затмений и приводятся соответствующие таблицы. При этом Птолемей считает, что расстояние Земли от Луны равно ~ 230 тыс. км (в действительности оно равно 378 тыс. км), диаметр Луны в 3 раза меньше Земного (в действительности в – 3,7 раза), а диаметр Солнца в 9,4 раза больше (в действительности – в 109 раз). Книги 7 и 8 посвящены описанию созвездий, видимых в Греции и Александрии, и в них приводится каталог 1025 неподвижных звезд, включающих 850 из каталога Гиппарха, к которым Птолемей добавил 175 звезд собственного наблюдения.

Центральное место в “Альмагесте” занимают книги 9 – 11, в которых автор строит свою знаменитую “систему Птолемея”, вошедшую во все учебники астрономии вплоть до XVI в., когда ее постепенно стала вытеснять система Коперника – Кеплера. В последних 12 и 13 книгах рассматриваются попятные движения планет и показывается, что эти движения хорошо согласуются с математической моделью равномерных обращений по эпициклам и деферентам, показанным на рисунке (…). Видно, что каждая из планет равномерно вращается по малой окружности – эпициклу, – центр которой равномерно движется вокруг Земли по большой окружности – деференту. Птолемей для всех планет вычислил отношение диаметров эпицикла и деферента, полагая, что центры их деферентов не совпадают с центром Земли, но смещены на величину эксцентра. Путем соответствующего подбора эксцентров, эпициклов и деферентов Птолемей сумел добиться столь высокой точности таблиц эфемерид (до 10'), что она в ряде случаев превосходила точность аналогичных таблиц в будущей системе Коперника (эфемерида – это таблица значений текущих координат планеты на небесной сфере в зависимости от времени). Причиной этого было то, что в системе Коперника не учитывалась эллиптичность планетных орбит, тогда как в системе Птолемея она фактически присутствовала. Такой успех системы Птолемея, основанной на суперпозиции равномерных обращений, объясняется тем, что в ней использовалась аппроксимация неравномерного квазипериодического движения светила набором нескольких гармоник, аналогичных отрезку ряда Фурье, причём параметры этих гармоник находились путем измерения истинных движений.

Благодаря высоким прогностическим возможностям и наглядности кинематической схемы, “Альмагест” Птолемея завоевал широчайшую известность сначала в христианском, а затем и в арабском мире. По существу, в нем была построена первая научная (хотя и неадекватная с позиций механики) математическая модель Мироздания, впервые продемонстрировавшая эффективность использования математического аппарата для описания явлений Природы. Неудивительно, что “Альмагест” на протяжении 14 веков оставался основным учебником астрономии в разных странах, сделавшись одной из великих книг в мировой науке и культуре. За этот период она была переведена и издана на всех основных языках цивилизованного мира. Имеется и русский перевод, вышедший в свет в 1998 г.

Завершая на этом разговор о древнегреческой астрономии, отметим ее отличие от астрономии вавилонской. Многовековые наблюдения неба вавилонскими халдеями дали весьма подробную картину как его “вечной”, т.е. неизменной звездной части, так и его подвижной планетно-лунно-солнечной части. Однако халдеи не предприняли никаких попыток объяснения небесных движений, ограничившись астрологическими интерпретациями своих наблюдений. Греческие же астрономы и философы, получив в свои руки вавилонские наблюдения и описания, занялись поисками принципов функционирования Мироздания и отвечающих им “конструктивных” особенностей всей системы. Итогом этих поисков, размышлений и вычислений стала первая в истории системная математическая модель, построенная в “Альмагесте”. Сознавая сложность и громоздкость этой модели Птолемей признавался: “Легче самому двигать планеты, чем объяснять, как они движутся”. Тем не менее, по словам известного математика XX века М. Клайна “…именно греки явили миру образцы первых истинно математических рассуждений и положили начало пониманию космических явлений”.

Завершив работу над “Альмагестом” Птолемей пишет аналогичный энциклопедический трактат по астрологии в 4-х книгах, названный “Тетрабиблос” (Четырехкнижие). В нем он пытается подвести некие физические основы под астрологические предсказания. Разумеется, книга пользовалась большим вниманием у астрологов разных поколений, однако на развитие науки заметного влияния не оказала, если не считать впервые отмеченные в ней различия не только в светимости, но и в цвете некоторых звезд, а также продолженное автором (следуя Гиппарху) разделение звёзд на 6 классов по уровню их светимости.

Еще в период активного проведения астрономических наблюдений Птолемей открыл явление атмосферной рефракции. Будучи прекрасным геометром, он сумел дать этому явлению четкую математическую формулировку, опередив официально признанного автора этого открытия Снеллиуса на 1,5 тыс. лет. Позднее этот закон вошел в 5-ю книгу трактата Птолемея “Оптика”, посвященного диоптрике, т.е. науке о преломлении света. Хотя этот трактат и несравним с “Альмагестом” по своей значимости и роли в развитии науки, он пользовался большой известностью в эпоху Средневековья. Аналогичная судьба была и у сочинения “Гармоники” в 3-х книгах, в котором автор, следуя идеям Пифагора и пифагорейцев, ищет взаимосвязи между музыкальной гармонией и гармонией Мироздания, задаваемой “музыкой небесных сфер”. Представляет интерес и попытка построения математической теории акустических явлений.

Последнее фундаментальное сочинение Птолемея – “География” (в 8 книгах) продолжает и развивает принципы математического картографирования территорий, заложенные в работах Эратосфена и Гиппарха. Развивая градусную географическую сеть Эратосфена, он разделил поверхность Земли на 380 участков, а также предложил свой метод отображения поверхности шара на плоскость (“метод планисферы”). К сожалению, в своих картографических построениях Птолемей использовал не тот радиус Земли, который был найден Эратосфеном, а в 1,5 раза меньший, найденный позже Посидонием. Эта ошибка через 1,5 тыс. лет сыграла злую шутку с Колумбом, который, планируя свое знаменитое путешествие в Индию через Атлантику, ошибся в расстоянии до нее именно в 1,5 раза и поэтому принял Америку за Индию (он умер, так и не узнав об этой своей ошибке). Несмотря на многочисленные погрешности в описании отдельных регионов Ойкумены, их размеров и границ, трактат “География” только в эпоху Возрождения был издан на разных языках более 40 раз и сыграл важную роль в создании научной географии этой эпохи. Поэтому Птолемея с полным правом можно считать основоположником научной картографии.

Резюме: Гелиоцентрическая система Мироздания, связь приливов с положением Луны, движения Земли, определение расстояний до Луны и Солнца (Аристарх). Предварение равноденствий, продолжительность времен года, эксцентр, эпицикл и деферент планет, первый каталог звезд с калибровкой их яркостей (Гиппарх). “Сферика” Менелая и теоремы сферической тригонометрии. Геоцентрическая система Птолемея, ее математическая модель, первые эфемериды и сферические элементы. “Оптика” и законы преломления света, открытие атмосферной рефракции. “География” и основы картографии .