5.4. После Архимеда

5.4.1. «Конические сечения» Аполлония

Аполлоний Пергский (250 – 170гг) – третий великий математик Александрийской школы эпохи эллинизма. Родился он в городе Перге в Малой Азии и в период 235 – 225 гг. учился в Эфесе у Евдема Пергамского. В 225 г. переезжает в Александрию, где учится математике у учеников Евклида, а также занимается астрономией. Прожив в Александрии большую часть жизни, Аполлоний написал там первые 3 тома своих знаменитых “Конических сечений”, посвятив их Евдему Пергамскому. Остальные 5 книг этого труда он написал в своем родном городе Перге, посвятив их пергамскому царю. До наших дней дошли лишь 7 книг, причем часть из них в арабском переводе.

Первооткрывателем конических сечений считается ученик Евдокса и слушатель Академии Платона древнегреческий математик Менехм, который получал их как сечения трех разных конусов. Аполлоний же трактовал эти кривые как сечения одного конуса плоскостями параллельными и перпендикулярными к образующей и к оси конуса. Современные названия – эллипс, парабола, гипербола, абсцисса, ордината – даны Аполлонием. Он также изучил их геометрические свойства, ввел понятия асимптоты, сопряженных диаметров (у эллипса), фокуса, эксцентриситета. К сожалению, эти исследования оказались востребованы только через 1,8 тыс. лет, когда Кеплер открыл свои знаменитые законы планетных движений, а Галилей – параболические траектории падающих тел. Еще более долгим оказался путь к практике у экстремальных задач теории конических сечений (изложенных в 5-м томе), связанных с опусканием перпендикуляра из заданной точки плоскости на коническое сечение. Любопытно отметить, что когда в 1975 г. на Всесоюзной олимпиаде студентов-математиков им была предложена эта задача, ее решил лишь один студент из 100 участников.

Некоторые историки упрекали Аполлония в плагиате, утверждая, что его труд лишь переработка неопубликованного сочинения “Конические сечения” Архимеда. Однако современные исследования и сопоставления показали необоснованность этих упреков, т.к. стиль, язык и терминология Аполлония существенно отличны от архимедовых. Между ними никогда не было дружеских отношений и переписки, хотя они и принадлежали одной научной школе и жили в одно время. Архимед никогда не ссылался на работы Аполлония, который, несомненно, был после Архимеда крупнейшим математиком того времени. Сам Аполлоний довольно резко полемизировал с последними работами Архимеда, а после выхода “Измерения круга” взялся за самостоятельное вычисление числа π, получив более точное его значение. В противовес Архимеду он разработал свою систему записи и наименования больших и сверхбольших чисел, которая оказалась более близкой к современной. Существует мнение, что одна из головоломных задач Архимеда, обнаруженная лишь в 1773 г. и названная “Задачей о числе быков”, была сформулирована им в завуалированной и даже сатирической манере именно для Аполлония, т.к. никто другой даже и помыслить не мог бы ее решить. Об этом свидетельствует стихотворная концовка задачи, которая в русском переводе звучит так:

“Если сумеешь все это найти и взором духовным

Стада размеры объять сам и другим передать

Гордо шествуй вперед, кичася великой победой.

Знай, что других превзойдя, первый по мудрости ты”.

Неизвестно, решил ли ее сам Архимед, т.к. это решение (найденное сравнительно недавно) будучи особым решением системы 7 уравнений с 8 неизвестными выражается числом из 206545 десятичных знаков!

Из остальных достижений Аполлония заслуживают внимания введенное им астрономическое понятие “эксцентра” окружности, (т.е. орбиты небесного тела) центр которой не совпадает с положением наблюдателя (оно впоследствии стало одним из ключевых понятий геоцентрической системы Птолемея), а также его идея о том, что траектории движений небесных тел являются суперпозицией равномерных круговых движений, а не сферических согласно Евдоксу. Представляет интерес также трактат “Касания”, в двух книгах которого ставится и решается знаменитая “задача Аполлония”: построение окружности, касательной к трем данным окружностям на плоскости (обобщение этой задачи на пространственный случай – построение сферы, касательной к 4-м заданным сферам – было сделано Ферма). В недошедшей до нас книге “О сравнении додекаэдра и икосаэдра” (ссылки на нее содержатся во введении к 14-й книге “Начал” Евклида) приводится доказательство того, что для додекаэдра и икосаэдра отношение объемов равно отношению поверхностей.