5.3.5. “Эфод” – путь к интегрированию

Завершая разговор о математических открытиях Архимеда, следует отметить, что почти все свои научные результаты и решения он сообщал александрийским коллегам в письмах, которые и составили дошедший до нашего времени “свод Архимеда”. При этом нередко, получив новый результат, он сообщал коллегам лишь условие новой задачи, предлагая им самим отыскать ее решение. Особенно много таких задач он отправлял своему сверстнику Конону, которого считал очень способным и квалифицированным математиком (к сожалению Конон умер в молодом возрасте, не успев полностью раскрыть свои таланты). Этот стиль научного общения возобновился только через 1,5 тыс. лет в Европе в эпоху Возрождения.

В своих математических задачах Архимед впервые стал использовать механические понятия и представления для их решения, хотя в окончательном результате старался “стереть” следы механики! Большое впечатление на Архимеда произвели атомистические идеи и построения Демокрита, с которыми он познакомился довольно поздно (уже вернувшись в Сиракузы), т.к. в Александрийской школе они фактически были под запретом. Оказалось, что широко используемое Архимедом разбиение тел и фигур на тончайшие геометрические элементы сродни разбиению тех же тел на мельчайшие материальные элементы, и этот путь позволяет получать многие новые решения. Именно так Демокриту удалось получить формулы для объема конуса и цилиндра (александрийские математики приписывали их Евдоксу). В письме Эратосфену Архимед пытался убедить его в полезности идеи “математического атомизма” Демокрита, которую он назвал “золотым ключом” для математики, но, по-видимому, безуспешно. Это знаменитое письмо было случайно обнаружено в 1906 г. приват-доцентом Петербургского университета П. Керамевсом в библиотеке одного из иерусалимских монастырей. Текст письма был полусмыт со старинного пергамента и на него сверху был нанесен другой (позднехристианский) текст. Благодаря усилиям знаменитого датского историка математики Гейберга греческий текст был восстановлен и по нему помимо “Письма к Эратосфену” (названному “Эфод” – метод) удалось обнаружить еще ряд работ Архимеда. В них, в частности, были вычислены объемы тел, показанных на рис. … . Особенность решений этих задач состоит в том, что они не зависят от числа π, хотя тела и ограничены криволинейными поверхностями подобно луночкам Гиппократа. Самой важной особенностью этого сочинения Архимеда было то, что в нем он впервые раскрывает существо своих методов и математических теорем, на которых они основаны. Расшифровка и прочтение этой рукописи продолжаются до настоящего времени, а сама она была продана в 1998 г. на аукционе за $2 млн.

Оказалось, что в своих важнейших доказательствах Архимед пользовался не столько “методом исчерпания” Евдокса, сколько придуманным им более эффективным “методом бесконечно малых элементов” в той его форме, которая в XVII в. н.э. была предложена знаменитым итальянским математиком Кавальери, под названием “метод неделимых”. Суть своего метода Архимед трактовал так: линия состоит из точек, поверхность из линий, а тело – из тончайших поверхностей как книга из листочков. У Кавальери этот “принцип неделимых” звучит так: если линии в двух площадях или плоскости в двух телах будут всегда в одном соотношении, то в том же соотношении будут находиться и соответствующие им площади или объемы. Отсюда несколько позднее возникло и оформилось понятие предельного перехода (в работах Такке в 1654 г., Валлиса в 1656 г., и, наконец, Ньютона в 1671 г.). Разумеется, Кавальери, хотя и был одним из крупнейших знатоков работ Архимеда, не мог знать о его “Эфоде” и самостоятельно разрабатывал свой “метод неделимых” в период зарождения интегрального исчисления на рубеже XVII и XVIII вв. Можно думать, что оно было бы открыто намного раньше, если бы европейские математики ознакомились с “Эфодом” не в начале XX века, а на 300 лет раньше. Завершая разговор о неделимых, т.е. о математической или физической “атомистике” Демокрита – Архимеда – Кавальери, можно заметить, что и возникший в XX веке вычислительный метод – МКЭ – продолжает и развивает аналогичную ключевую идею применительно к использованию современной вычислительной техники.

III в. до н.э. – время Архимеда и его младшего современника Аполлония – был периодом наивысшего расцвета греческой математики. Римляне, постепенно захватившие все Средиземноморье, вообще не проявляли интереса к теоретическим наукам. Греческие математики II – I вв. до н.э., получившие название “эпигонов” (подражателей) могли лишь комментировать труды своих великих предшественников или решать отдельные прикладные задачи. С воцарением в Европе христианства греческая наука подверглась гонениям как “языческая мерзость”, и в качестве ее спасателей выступили арабские ученые и переписчики, старавшиеся создать идеологический фундамент для своей новой религии – ислама. Разумеется, имя Архимеда стало известно в Европе еще в раннем Средневековье, хотя серьезное знакомство европейцев с его трудами состоялось только в XIII – XIV вв. благодаря их арабским переводам, попавшим в Европу в результате крестовых походов. Однако о понимании смысла этих работ, не говоря уже об их развитии и продолжении, тогда не могло быть и речи. В 1269 г. появился первый латинский перевод совершенно неудовлетворительного качества, за которым только в середине XIV в. последовал первый квалифицированный перевод “Измерения круга”, сделанный итальянским математиком и философом Н. Кузанским. Из него европейцы узнали, что известное им “архимедово число” является приближенным, а не точным значением. Нарастающий интерес европейских математиков к работам Архимеда и других греческих ученых вызвал, начиная с 1501 г., целую серию печатных изданий этих работ, переводы которых делали крупнейшие ученые и специалисты, такие как Н. Тарталья, Мавролино и др. Наиболее известным и высококачественным оказался переход основных трудов Архимеда, выполненных Ф. Коммандино и вышедших в свет в 1558г.Эти издания сыграли важнейшую роль в грядущем расцвете европейской математики и механики и в подготовке научной революции XVIII в. Самого Архимеда стали называть “отцом механики”, аналогично тому, как Аристотеля называли “отцом логики”, а Евклида – “отцом геометрии”. Уместно привести высказывание Вольтера об Архимеде: “В голове Архимеда было больше воображения, чем в голове Гомера”. Высочайшие оценки работам и результатам Архимеда дали Лейбниц – “Изучая труды Архимеда, перестаёшь удивляться успехам современных математиков”, и Даламбер – “За Архимедом сохранится репутация одного из самых удивительных гениев, которые когда-либо посвящали себя математике”.

Резюме: Центры тяжести тел и фигур, момент силы, основы статики твердого тела, элементы строительной механики и сопротивления материалов. Начала гидростатики и устойчивости плавающих тел. Закон Архимеда, закон Паскаля. Уравнение равновесия рычага, механика грузоподъемных и метательных машин. Методы вычисления площадей, фигур и объемов тел, их центров тяжести. Предельные переходы в интегральных суммах, “число Архимеда”. Эфод и понятие интеграла. Уникальные военные изобретения. Псаммит, астрономические и оптические работы, Архимедовы тела. Архимед – вершина античной и постантичной науки.