5.3.4. Архимед – математик

В средневековой Европе наибольшую славу Архимеду принесли его работы по геометрии, развивавшие знаменитый “метод исчерпания” Евдокса и вплотную приблизившие его к понятию интегральной суммы при вычислении площадей и объемов. Эти идеи Архимеда на 2 000 лет опередили свое время, и их дальнейшее развитие продолжилось только в работах Кавальери, Лейбница и Ньютона. Ярким примером применения метода исчерпания явилось определение знаменитого “числа Архимеда”, π = 22/7 = 3,14 , – чему посвящена его небольшая, но очень важная работа “Измерение круга”. Для этого он сначала показывает, что длина окружности заключается между периметрами вписанного и описанного правильного n-угольника. Начиная с n = 6 и увеличивая число сторон вплоть до n = 96, Архимед, пользуясь полученным им ранее приближением , находит для π пределы: 223/71 < π < 22/7, которые с точностью до 6 знаков есть 3,14084 < 3,14159 < 3,14285. По найденному значению π (эту букву – первую букву греческого слова “периметрос – периферия” – также ввел Архимед) уже нетрудно было вычислить площадь круга и ряда других криволинейных фигур (например, площадь эллипса S = πab) и объемы тел вращения.

В сочинении “О шаре и цилиндре” он находит поверхность и объем шара, наглядно демонстрируя высокое искусство практического применения “метода исчерпания”. При этом он устанавливает тот факт, что если рассмотреть 3 тела – конус, шар и цилиндр, имеющие одинаковую высоту и ширину (рис. …), то их объемы относятся как 1:2:3. После этого для доказательства своей знаменитой теоремы “Объем шара радиуса R равен ” Архимед использует равенство суммы объемов конуса и полушара объему цилиндра (рис. …). Разбивая каждое из этих тел на тончайшие кружки высотой δ<<R, он ищет объем каждого из трех кружков, находящихся на высоте h. Видно, что для любого h сумма объемов целого конуса и целого полушара равна объему целого цилиндра, т.е. . Отсюда, учитывая, что , находим или . По существу здесь используется предельный переход . Далее Архимед устанавливает, что для шара, вписанного в цилиндр, отношение их объемов равно отношению их поверхностей и равно . Этот результат он повелел изобразить на своем могильном надгробии, что и было сделано. Именно по этому рисунку (рис. …) через 137 лет после гибели Архимеда древнеримский оратор и писатель Цицерон, будучи в Сицилии, нашел могилу Архимеда, которую давно потеряли из виду сами сицилийцы (она заросла кустами и репейником). Позднее эта могила была утеряна окончательно.

В следующей знаменитой работе “Квадратура параболы” Архимед, используя метод исчерпания, ищет площадь сегмента параболы S (рис. …), полагая, что она ограничена сверху и снизу суммами площадей n трапеций, “входящих” и “выходящих” за дугу параболы: . Увеличивая n и вычисляя верхнюю и нижнюю суммы при , Архимед устанавливает, что площадь параболического сегмента равна 1/3 площади треугольника ABT. При этом он использует такие механические понятия как центр тяжести, статический момент, закон рычага. В частности, он устанавливает, что площадь сегмента параболы COB (рис. …) равна 2/3 площади прямоугольника ABCD или 4/3 площади треугольника COB. Главный смысл этого результата состоит в том, что в этих соотношениях нет ни числа π, ни дробных степеней, а имеются лишь дробно-рациональные соотношения.

Аналогичными методами Архимед находит поверхности и объемы сегментов параболоида и эллипсоида вращения, а также их центры тяжести. По существу Архимед разработал методику интегрирования площадей и объемов тел вращения 2-го порядка, т.е. тех задач, которые не сводятся к эллиптическим интегралам!

Не менее интересные результаты получены в книге “О коноидах и сфероидах”. Коноидами Архимед называл тела, образованные вращением параболы и гиперболы, а сфероидами – эллипса. Для вычисления сегментарных объемов этих тел он разбивает весь объем на n слоев, аппроксимируемых набором “внутренних” и “внешних” тонких цилиндров, которые и характеризуют объем коноида. Вычисляя их суммарный объем при , Архимед находит объемы коноида и сфероида. При этом он по существу вычисляет интегралы вида , и даже интеграл типа , хотя тригонометрических функций еще не было. На этом пути он впервые вычисляет и сумму геометрической прогрессии. В частности, он нашел, что объем сферы равен объема описанного цилиндра, а объем параболического коноида (параболоида вращения) в 1,5 раза превосходит объем вписанного конуса и в 2 раза меньше объема описанного цилиндра. Здесь же он определяет и площадь эллипса (πab) как площадь круга с радиусом, среднегеометрическим между полуосями эллипса. Продолжая поиск центров тяжести ряда тел и фигур – полушара, сегмента сфероида и др., – Архимед попутно устанавливает известные теоремы Паппа-Гюльдена об объеме и площади поверхности тел вращения. Наконец, в книге “О плавающих телах” он помимо своего знаменитого закона формулирует целый ряд положений гидростатики, содержащих, по существу, закон Паскаля, а также ставит и решает некоторые задачи об устойчивости плавающих тел.

Помимо основ интегрирования функций Архимед заложил и основы их дифференцирования, изучая геометрию известной “спирали Архимеда”. Хотя открытие этой спирали было сделано другом Архимеда Кононом, все ее замечательные свойства обнаружил и вычислил Архимед. Он же предложил механический способ построения этой спирали как суперпозицию двух равномерных движений точки A – радиального и поворотного. При этом он впервые в механике дал четкое определение понятий равномерно-прямолинейного и равномерно-вращательного движении точки, а также “сложения” или точнее – наложения этих движений. Для вычисления площади, ометаеной радиус-вектором точки А, Архимед разбивает спираль угловой длины на n элементарных секторов и выписывает выражения для суммы их площадей S. В результате он получает сходящийся числовой ряд.

, (5.2)

откуда в пределе для получается . Нетрудно видеть, что площадь первого витка спирали равна 1/3 площади круга, содержащего этот виток. Помимо интегрирования этой спирали Архимед нашел и способ построения касательной к ней, что уже относится к вопросам дифференцирования кривых. При этом он использовал идею т.н. “характеристического треугольника”, который повторно был открыт Лейбницем в XVII веке.

В “Книге лемм” Архимед получает известную “формулу Герона” для площади треугольника (авторство Архимеда было установлено только в 1910 г.), однако онане была понята и принята его современникам, т.к. они считали имеющими геометрический смысл только произведение двух (площадь) или трех сомножителей. Также он решает ряд интересных геометрических задач. В одной из них – задаче об арбелоне (скорняжный нож в древней Греции (рис. …)) – он доказывает равенство двух малых кругов по обе стороны от отрезка BD (заштрихованных двойной штриховкой), устанавливая, что общая площадь арбелона ABCD равна площади круга диаметром BD, а также выявляет ряд других интересных свойств арбелона. В другой задаче (рис. …) он рассматривает дугу окружности ABC, где B – ее середина, и доказывает следующий факт: для любой точки D имеет место равенство AD+DE = EC, т.е. основание перпендикуляра E из точки B делит ломаную ADC пополам.

В несохранившемся сочинении “О многогранниках” Ахимед обнаруживает существование 13 полуправильных многогранников (“архимедовых тел”), которые ограничены правильными многоугольниками двух различных типов и при этом могут быть вписаны в сферу. В 1930 г. в США Миллером был обнаружен последний 14-й полуправильный многогранник (в 1957 г. он же независимо от Миллера был открыт двумя советскими математиками). Интересно отметить, что один из архимедовых многогранников, а именно, усеченный икосаэдр, состоящий из правильных 5-ти и 6-тиугольников долгое время служил выкройкой для покрышек футбольных мячей (т.н. “32-дольные покрышки”). Такую же геометрию “архимедова тела” имеет и нынешный символ нанотехнологии – молекула фуллерена, – построенная из 60 атомов углерода (сажи) и обладающая огромным запасом прочности – она не разрущается даже сталкиваясь с преградой на скорости 104 м/сек. В 1927 г. стало известно еще одно небольшое сочинение Архимеда “О семиугольнике”, в котором излагается способ построения правильного семиугольника и описываются некоторые его свойства.