5.3.3. Архимед – физик и механик

Поразительная изобретательность Архимеда проявлялась не только в военной технике, но и в других его научных и инженерных работах. Так широкую известность приобрел рассказ о том, как Архимед в одиночку, с помощью сконструированного им полиспаста сдвинул со стапелей огромную трехмачтовую триеру “Сиракузянка”, водоизмещением более 3 000 т, построенную царем Гиероном в качестве дара египетскому царю Птолемею II. Именно после этого он, как гласит легенда, произнес свою знаменитую фразу: “Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю”. Эту триеру не могли сдвинуть 300 человек! Позднее она была переименована в “Александрию” и стала самым крупным древнегреческим судном. Его длина превышала 50 м, и оно приводилось в движение помимо парусного оснащения усилиями 2000 гребцов, развивая скорость до 7,5 км/час. Его трюмы вмещали 1 500 т зерна, 500 т шерсти, 10 000 бочек рыбы. Оно также было рассчитано на быстрое превращение в военное судно. С этой целью на его палубе находилась мощная катапульта, сооруженная по проекту Архимеда и способная метать камни весом 75 кг на расстояние 160 м. На трех высоких мачтах находились подъемные краны, предназначенные для захвата и переворачивания вражеских судов. Впоследствии подобные же крановые конструкции были построены Архимедом для обороны Сиракуз от римских захватчиков.

Необходимо заметить, что столь грандиозное судно, даже если оно действительно было построено и спущено на воду, вряд ли долго могло быть использовано в мореходстве, т.к. было обречено на неуправляемость! Действительно, при огромном моменте инерции корпуса и полном отсутствии рулей (первые морские рули появились только в XIII в. н.э.) оно имело практически нулевую маневренность и его ожидала неминуемая гибель на прибрежных камнях и скалах.

Самое известное (и самое достоверное) физическое открытие – закон Архимеда – вероятно, было сделано в процессе решения конкретной практической задачи, предложенной ему царем Гиероном. Согласно легенде, царь заказал придворному ювелиру изготовить золотую корону и выдал ему необходимое количество металла. Когда же корона была изготовлена, царю поступил донос, что ювелир часть золота присвоил, заменив его серебром. Нужно было выяснить, так ли это, и Гиерон попросил Архимеда взяться за решение этой проблемы. Неизвестно сколь долго он размышлял о ней, но однажды, принимая ванну и наблюдая, как по мере погружения тела излишняя вода вытекает, он понял, как можно измерить объем короны, а, следовательно, и найти ее удельный вес. С радостным возгласом “эврика!” (нашел!) он выскочил из ванны и полуобнаженный побежал по улице в свою мастерскую. Проделав там серию измерений с золотом и серебром, он уличил ювелира в краже золота, однако о том, какое тот понес наказание от царя, история умалчивает. Разумеется, здесь речь идет лишь о методе определения удельного веса тел неправильной формы. Однако сопутствующие этому гидростатические эксперименты несомненно способствовали открытию первого физического закона. В авторской формулировке, этот знаменитый закон есть: “Тела, которые тяжелее жидкости, будучи опущены в неё, погружаются всё глубже, пока не достигают дна, и, пребывая в жидкости, теряют в своём весе столько, сколько весит жидкость, взятая в объёме тела”. В современной формулировке он есть: “ На тело, целиком погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости ”. Любопытно звучит стихотворная формулировка этого закона, предложенная М. В. Ломоносовым:

“Тело, ٰупертое в воду

не теряет в весе сроду

Оно прётся оттуды ′

Весом выпертой воды”.

Закон Архимеда занимает особое место в физике. Во-первых, это первый физический закон, открытый и правильно сформулированный его автором. Во-вторых, он один из немногих законов и открытий, носящих имя своего истинного автора. Наконец, это единственный закон, который вошел в практику только через 1 800 лет после его открытия. Произошло это в 1666 г., когда английский кораблестроитель А. Дин еще до спуска со стапелей в воду только что построенного военного корабля, сумел рассчитать с помощью закона Архимеда положение его ватерлинии и указал, где следует прорезать бортовые отверстия для стволов орудий. Его расчет полностью подтвердился, что произвело переворот в технологии судостроения того времени. Позднее, будучи в Англии (1698 г.) Петр I пригласил в Россию сына знаменитого мастера, чтобы он включил расчетную схему А. Дина в российский "Регламент корабельного строения". Так Россия познакомилась с законом Архимеда.

Помимо формулировки основного закона гидростатики Архимед дал и формулировку понятия центра тяжести твердого тела: “Центр тяжести тела есть такая его точка, будучи подвешенным за которую, тело остается в покое, сохраняя любую ориентацию”. Он же впервые вычислил центры тяжести ряда плоских фигур (треугольника, параллелограмма, сегмента параболы, спирали) и некоторых тел (конуса, полушара). Частным результатом этих вычислений стала чисто геометрическая теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Велика роль Архимеда и в разработке теории рычага. Хотя рычаг и некоторые рычажные механизмы упоминаются еще в аристотелевых “Механических проблемах” и у Архита, только Архимед дал точную и строгую формулировку условия его равновесия: “Разные грузы уравновешиваются на длинах, обратно-пропорциональных их тяжестям”. В современных обозначениях это записывается так: P₁a₁ = P₂a₂, где P_1,2 - грузы, а a_1,2 – их плечи. В своей теории рычага Архимед впервые ввел в механику понятие момента силы относительно опорной точки. Тем самым он создал основные элементы статики, которые оказались востребованы только через полторы тысячи лет.

Большое место в работах Архимеда занимали астрономические исследования. С помощью созданного им угломера он определил угловые диаметры Солнца и Луны (для Солнца он получил 32'55'', современное значение – 32'33''), а также рассчитал соотношение радиусов околосолнечных орбит Меркурия, Венеры и Марса, с погрешностью не более 5 – 8%. Он показал, что эти радиусы относятся как 1:2:4, что весьма близко к истине. Использованная им система Мира (рис. с 84) интересна тем, что в ней содержатся элементы гелиоцентризма, почерпнутые им из сочинения Аристарха Самосского, не дошедшего до нашего времени. Архимед же был знаком с ним, что следует из его следующих слов: “Аристарх написал книгу, содержащую обоснование гипотезы, из которой вытекает, что Вселенная во много раз больше той, о которой упомянуто (т.е. имеющей радиус, равный радиусу земной орбиты). Суть его гипотезы заключается в том, что звезды и Солнце неподвижны, Земля обращается вокруг Солнца по окружности, Солнце же является как центром земной орбиты, так и центром сферы неподвижных звезд”.

На основе своих астрономических исследований и результатов Аристарха Архимед понял, сколь грандиозны размеры Вселенной (ее диаметр равен 10¹⁰ стадий, т.е. 1,57 млрд. км). Такие огромные числа еще не встречались в античной математике, где наивно полагали, что самое большое число в мире – это число песчинок на Земле и большего числа быть не может. Чтобы опровергнуть это мнение Архимед произвел подсчет того, сколько песчинок уместилось бы в объеме Вселенной. Он получил число 10⁶³, хотя при этом ему пришлось придумывать новые названия и новую систематику для больших и сверхбольших чисел. В основе систематики Архимеда лежало понятие “мириады”, означающее 10⁴. Самое же большое число, которое он выразил через систему мириад, было , которое намного превосходило найденное им число песчинок во Вселенной. Описанию этих методов и результатов счета посвящена его книга “Псаммит” или “Исчисление песчинок” (перевод ее имеется на русском языке). В процессе этих расчетов Архимед сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии и устанавливает связь между ними, вплотную подойдя к понятию логарифма. Также он приблизился к понятию позиционной системы счисления, которая, однако, не была понята и воспринята его современниками. Используя придуманные им методы вычислений, Архимед получил, в частности, следующее приближение числа :

(5.1)

Точность этого приближения столь велика, что остается загадкой способ его получения. Интересно отметить, что хотя Архимед широко использовал дробные выражения, он, как и другие математики (Евклид, Никомах и др.), за числа их не признавал. Характерен для Архимеда сам способ ограничения искомой величины как верхним, так и нижним пределом, который проходит красной нитью через многие его работы, что позволяет считать его основоположником понятия точности.

Нельзя не упомянуть и о работах Архимеда по оптике (“катоптрике”, как называли в античные времена науку о зеркалах), ссылки на которые имеются у ряда авторов. В частности, в них упоминается о доказанной Архимедом теореме “Угол падения луча света на зеркало равен углу его отражения”, которую принято называть “законом Снеллиуса”. Много внимания он уделял вопросам отражения света от выпуклых и вогнутых зеркал (откуда, по-видимому, и родилась идея поджигания неприятельских судов посредством системы зеркал), а также изучению преломления лучей в воде и происхождению радуги.