4.4.3. “Начала” Евклида

Евклид (325 – 265) наряду с Евдоксом принадлежал к блестящей плеяде учеников Платона, но, в отличии от Евдокса, прославил свое имя не столько за счет своих личных научных достижений, сколько благодаря подытоживанию результатов крупнейших древнегреческих математиков от Фалеса до Евдокса. Этот итог возник в форме учебника математики, написанного Евклидом. для учеников Александрийской математической школы, которую он же и организовал в составе Александрийского Мусейона. Этот учебник состоял из 13 книг, построенных по единой логической схеме: определение исходных математических объектов (точка, линия, фигура), система недоказуемых аксиом, и на этой основе – доказательства конкретных утверждений. Название этого фундаментального сочинения (“Начала” или, как еще его переводят, “Элементы”) автор заимствовал у своего предшественника Гиппократа Хиосского. Кстати, основное содержание первых четырех книг евклидовых “Начал,” также представляет собой обработку гиппократовых “Начал”.

Уже в первой книге, посвященной геометрии плоских фигур (треугольников, параллелограммов, трапеций) Евклид формулирует свои знаменитые пять постулатов. Среди них особое внимание современников и многих геометров последующих тысячелетий привлекал т.н. “постулат о параллельных”, который, в отличие от остальных, вовсе не казался очевидным, напоминая скорее теорему, требующую доказательства. И только более чем через 2 000 лет загадка этого постулата была разрешена в работах Н.И. Лобачевского и Б. Римана.

Во 2-й книге излагаются элементы геометрической алгебры, а также дается первое в античной литературе описание и геометрическое построение золотого сечения. Далее в 3-й главе обсуждаются – свойства круга, его хорд и касательных, а в 4-й – теория правильных многоугольников, причем приводится принадлежащее самому Евклиду построение правильного 15-угольника. Математическим исследованиям своего предшественника Евдокса Евклид посвятил 5-ю, 6-ю и 12-ю книги, в которых изложил подобие фигур, теорию пропорций и, наконец, знаменитый “метод исчерпания ” (12-я книга), посредством которого определяются площади кругов, объемы пирамид, конусов, цилиндров и шаров.

Математическим результатам другого великого математика платоновой Академии Тиэтета посвящены книги 7 – 9 (арифметика, пифагорейская теория чисел и теория пропорций), а также книги 10 и 13, где освещаются вопросы соизмеримости и несоизмеримости величин, описываются 5 “платоновых тел” и даются способы их построения. Здесь же отражены и собственные результаты Евклида, а именно – известный “алгоритм Евклида” – определение наибольшего общего делителя для заданной системы чисел, – а также “теорема Евклида” о бесконечном множестве простых чисел. Также автор высказывает одну важную теорему из теории чисел: если числа и простые, то число будет совершенным. Числа впоследствии (в XVII веке) были названы числами Мерсенна. Ценность теоремы Евклида состоит в том, что устанавливает взаимосвязь между простыми и совершенными числами. В следующей, 10 книге решена первая в истории задача на максимум: доказано, что из всех прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Наконец, в книге 11 на основе сочинений Архита излагаются вопросы стереометрии.

Можно заметить, что при написании “Начал” автор своей главной целью ставил отражение трех великих открытий греческих математиков: теорию пропорций Евдокса, теорию иррациональностей Тиэтета и теорию пяти правильных многогранников. При этом он широко использовал метод доказательств от противного, сделав его весьма популярным среди математиков. Несмотря на сравнительно небольшой объем оригинальных результатов автора, “Начала” сразу же приобрели широчайшую известность среди математиков и философов благодаря исключительной четкости, строгости и обстоятельности изложения материала. “Начала” Евклида быстро вытеснили другие аналогичные руководства его предшественников и современников и стали образцом для многих последующих “Начал” (например, ньютоновых).

К 13 евклидовым книгам “Начал” впоследствии были присоединены 14-я и 15-я, написанные соответственно во II в. до н.э. и в VI в. н.э. Автором 14-й книги был известный александрийский математик Гипсикл, изложивший теорию додекаэдра и икосаэдра и показавший, что отношение их объемов равно отношению их поверхностей. Также он установил, что кроме 5 платоновых тел других правильных многогранников не существует. Автор 15-й – неизвестен.

Из всех научных книг, когда-либо изданных и вошедших в общее пользование, “Начала” Евклида держат почетное 1-е место как по числу печатных изданий (более 500 с 1482г.), так и по своему воздействию на преподавание и развитие математики. На два тысячелетия, начиная с III века до н.э., “Начала” стали образцом логического изложения геометрии, основанного на аксиомно-теоремном подходе. Этот подход оказался настолько плодотворным, что стал примером для построения целого ряда новых наук. Объясняя столь высокую популярность и долговечность евклидовых “Начал”, известный математик XX века Д. Пойа писал: “Евклидова геометрия – не просто одна из логических систем. Она является первым и величайшим примером такой системы, которой другие науки пытались и всё ещё пытаются подражать”. По существу этот учебник стал первой математической энциклопедией, которая канонизировала высочайший уровень древнегреческой математики на все последующие периоды истории вплоть до эпох Возрождения и Просвещения. В период позднего Средневековья евклидовы “Начала” доходили до Европы в арабских переводах, однако с началом книгопечатания в 1482г. в Венеции было выпущено их первое издание на латыни. В 1739г. появилось первое русское издание “Начал”, а последнее вышло в 1948 г.

В европейских университетах эпохи Возрождения обычно изучались только 6 книг “Начал” (т.к. остальные книги считались слишком трудными для студентов и предназначались для математиков-профессионалов), причем особо трудными для студентов считались такие утверждения, как теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. В этих томах излагалась почти вся современная планиметрия и теория отношений. Следующие 4 тома были посвящены учению о числах, пропорциях и иррациональностях. Наконец в 3-х последних томах излагалась стереометрия призм, цилиндров, пирамид и правильных многогранников. Постепенно материал первых книг перекочевал в школьные учебники, которые почти без изменений воспроизводили его вплоть до конца XIX века! Пример евклидовых “Начал”, занимавших все это время второе после Библии место по известности и распространенности, наглядно говорит о том, что педагогическое творчество не менее важно для прогресса, чем творчество научное.

Помимо “Начал” Евклиду принадлежат, по утверждению Прокла и Паппа, не дошедшие до нас 4 книги о конических сечениях, материал которых был использован позднее в знаменитом 8-томном сочинении Аполлония “Конические сечения”. Также им были написаны трактаты по астрономии (“Явления”), по музыке, по педагогике (“О ложных заключениях”) и по оптике – “Оптика” и “Катоптрика” (о перспективе и о зеркальных отражениях). Одним из самых оригинальных и значительных сочинений Евклида (к сожалению, также до нас не дошедшего) стали “Поризмы” (3 книги), содержащие 171 теорему, немалая часть которых относилась к проективной геометрии. В арифметике собственные результаты Евклида сводятся к следующим трем достижениям:

-теорема о делении с остатком (без доказательства),

-алгоритм Евклида (способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков),

-доказательство бесконечности множества простых чисел.

Хотя имя Евклида известно почти каждому современному школьнику, его биография и даже место рождения (Афины или Тир) фактически неизвестны. Известно лишь, что какое-то время он занимался в платоновой Академии, а затем был приглашен в Александрийский Мусейон первым Александрийским царем Птолемеем I. Написав там около 325г. свой бессмертный трактат, он сразу приобрел известность и славу, и даже сам Птолемей, заинтересовавшись его геометрией, однажды спросил у ученого, нет ли в геометрии более короткого пути, чем изучение “Начал”. На это Евклид, согласно легенде, гордо ответил, что “В геометрии нет царских дорог!”. Еще одна дошедшая до нас фраза была им произнесена, когда один из учеников после очередного занятия спросил: “А что я получу, выучив все это?”. Учитель в ответ позвал своего раба и сказал ему: “Дай ему три обола (серебряные монеты), если бедняжке хочется извлечь из учения выгоду”.

Из сказанного можно заключить, что Евклид, став главой Александрийской математической школы, стал и автором самой уникальной математической книги в истории науки (в истории книг “Начала” занимают 3-е место после Библии и цитатников Мао Цзе-дуна по числу изданий и по числу читателей) и он по праву может считаться наиболее выдающимся педагогом и популяризатором математики.

Самым ярким и талантливым учеником Аристотеля был Теофраст (372 – 287), возглавивший после смерти Учителя его школу и руководивший ею 36 лет. За это время он воспитал сотни учеников и написал трактаты по разным областям знаний. До наших дней дошли его труды по ботанике “История растений” и “Причины растений”, а также отрывки из его естественно-научных сочинений “Мнения физиков”, “О камнях”, “О ветрах”.

В заключение стоит упомянуть еще одного ученика Аристотеля – Евдема Родосского (? – 335) – автора одной из самых ранних книг по истории науки: “История геометрии и астрономии”.

Резюме: Евдокс: теория 27 небесных сфер, звездный каталог, теория пропорций и “золотое сечение”, предельные переходы и метод исчерпания, объемы простейших геометрических тел. Калипп: теория 34 небесных сфер; Менехм: конические сечения, “триада Менехма”, их первые уравнения. Динострат: “квадратриса Динострата”, квадратура круга и трисекция угла, первые пределы, параболическое зеркало. Гераклид: суточное вращение Земли, эпициклы, гелиоцентрическая гипотеза. Евклид: создание Александрийской математической школы, аксиомы геометрии, пятый постулат, концепция “евклидова пространства”, трактат “Начала”. Теофраст: ботаника и естествознание. Евдем: история науки.