4.4 Последователи великих философов

4.4.1. Евдокс Знаменитый

Евдокс Книдский (408 – 355) – один из выдающихся учеников Архита и Платона, некоторое время руководивший Академией, стал крупнейшим математиком и астрономом IV века до н.э., хотя вместе с тем писал книги по философии, географии, музыке и медицине. Недаром друзья называли его “Евдоксом Знаменитым”. В юности он был учеником Архита Тарентского, но в 23 года, приехав в Афины, стал учеником Платона. Поселившись на далекой окраине, ежедневно ходил в Академию, где изучал преимущественно астрономию и математику. Став самостоятельным ученым, едет к египетским жрецам для совершенствования в астрономии и решения астрономической проблемы, сформулированной Платоном. Суть ее состояла в том, чтобы объяснить наблюдаемые петлеобразные траектории планет на небесной сфере посредством комбинации равномерных круговых движений. Эта идея Платона была аналогична его установке на решение геометрических задач с помощью циркуля и линейки и отвечала его философской концепции о построении реальных вещей и процессов из идеальных элементов. (С этого времени и вплоть до эпохи Возрождения равномерные круговые движения стали считаться идеальными, а на небесах еще и вечными. До сих пор бытует родившееся тогда выражение: “Возвратиться на круги своя”.) И Евдокс после долгих поисков справился с этой задачей, заложив тем самым основы античной теоретической астрономии и став вместе с тем основателем сферической геометрии.

Он разработал модель Мироздания в виде системы 27 равномерно вращающихся небесных сфер, центры которых совпадали с центром Земли, а оси и скорости вращения были различны для разных светил. Первая из них – сфера неподвижных звезд – совершала вокруг Земли один оборот в сутки вокруг оси, перпендикулярной плоскости ее экватора. Остальные 26 сфер были распределены между прочими светилами: Солнцу и Луне отводилось по 3 сферы, а пяти планетам – по 4. Для объяснения петлеобразных, т.е. обратных движений планет в плоскости эклиптики Евдокс так подобрал направление и скорости вращения планетных сфер, что траектория планеты, прикрепленной к последней сфере, приобрела вид восьмерки (рис. 4.1). Эту кривую Евдокс назвал “гиппопедой” (в наше время она же называется лемнискатой). Предложенная кинематическая модель Евдокса хорошо описывала движение Юпитера и Сатурна, однако гораздо хуже воспроизводила движение Марса и Венеры. Поэтому впоследствии его ученик Калипп из Кизика (370 – 300) усовершенствовал схему Евдокса, увеличив число сфер до 34. Он же уточнил “метонов цикл”, введя более продолжительный “калиппов цикл”

76 лет = 940 месяцев = 27759 суток.

В нём год уже равнялся 365,25 суток, а месяц – 29, 531 суток, что всего на 22 секунды больше его нынешнего значения. Тем не менее, использование гомоцентрических (имеющих общий центр) сфер не могло объяснить того факта, что видимая яркость планет заметно изменялась во времени. Это заставило другого ученика Платона – Гераклида Понтийского – предложить свою модель Вселенной, ставшую второй вехой на пути к знаменитой птолемеевой системе Мироздания.

В своих астрономических построениях Евдокс делал попытки доказать шаровидность Земли, используя такие наблюдательные факты, как ее круговая тень на Луне, расширение горизонта при подъеме в гору, изменение положений созвездий при перемещении наблюдателя по Земле. Считается, что именно он ввел понятия “горизонт” и “климат”, а также сделал первое измерение угла наклона эклиптики к экватору. Также он установил зависимость широты любого пункта на Земле от отношения продолжительности летнего и зимнего дня. Отсюда и возник термин “климат” (от греческого слова “клима" – наклон), характеризующий расстояние пункта от экватора.

Помимо теоретических построений модели Мироздания Евдокс после посещения Египта занялся практической астрономией, став первоклассным наблюдателем неба. С этой целью он основал первую греческую школу - обсерваторию в Кизике (южный берег Мраморного моря), где вместе с учениками вел систематические и весьма точные наблюдения за небесными светилами. Блестящим результатом этих наблюдении стало определение продолжительности синодического периода обращения Меркурия вокруг Солнца с погрешностью менее 1%!. Он же дал детальное описание созвездий, видимых на широте Греции, и составил звездную карту на 300 звезд, координаты которых определялись с точностью до 1⁰. Под координатами звезд он понимал их широту и долготу, предвосхитив тем самым использование декартовых координат, введенных Декартом лишь в XVII веке. Для совершенствования календаря Евдокс первый предложил ввести високосные годы (каждый четвертый год, содержащий 366 дней), что было осуществлено только через 300 лет Юлием Цезарем. Итоги его астрономических исследований были изложены в сочинениях “Явления” и “Зеркало”, которые не дошли до нашего времени, но на которые имеются ссылки у античных авторов.

Не менее важные достижения были у Евдокса и в математике, где он продолжил и развил изыскания Архита и Тиэтета по теории пропорций, которую он обобщил, введя понятие “величины” как число, характеризующее угол, отрезок или площадь. Он часто использовал несоизмеримые величины, а также постулировал аксиому, именуемую обычно “аксиомой Архимеда”: “Две величины находятся между собой в определенном отношении, если любая из них, взятая кратно, может превзойти другую”. На этой основе Евдокс разработал строгую теорию отношений, изложенную позднее Евклидом в V томе его “Начал” и ставшую первым шагом к будущей теории действительных чисел Дедекинда и Вейерштрасса. В теории пропорций он неоднократно использовал “золотое сечение”, хотя его знали и древние египтяне.

Наиболее важные математические результаты Евдокса связаны с понятием предельного перехода и разработкой на его основе т.н. “метода исчерпания” для вычисления площадей и объемов различных геометрических фигур и тел. Развивая методы софистов Антифона и Бризона, Евдокс строит последовательность фигур или тел, геометрически приближающихся к заданному объекту и все более полно аппроксимирующих его площадь или объем. Это уже прообраз будущих интегральных сумм и понятия интеграла.

С помощью своего метода Евдокс строго доказал, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров (хотя сам этот факт был известен еще Гиппократу). Также он установил, что объемы двух шаров относятся как кубы их диаметров. Ему же принадлежит первый вывод формулы для объема пирамиды и конуса, хотя сама эта формула была известна еще древним египтянам. Дальнейшее развитие и широкое использование метода исчерпания Евдокса было сделано Архимедом. Результаты самого Евдокса были изложены Евклидом в XII томе его “Начал”.