4.2.3. Софисты – учителя мудрости

Ко времени Демокрита относится еще одно важное философское направление V века до н.э. – появление т.н. “софистов”, любителей и распространителей мудрости. Это были странствующие философы, выходцы из афинской философской школы, которые, следуя примеру Зенона, исполняли роль учителей по найму, обучая за большую плату аристократическую молодежь греческих полисов основам философии, риторики, астрономии, истории. Главным методом в их преподавании было искусство ведения спора с целью переубеждения оппонента. Высшим мастерством считалось умение доказать какую-либо истину и тут же ее опровергнуть. Отсюда берет начало существующий до сих пор термин “софистика”, означающий целенаправленное, но псевдодоказательное рассуждение.

Большую известность среди софистов приобрели Протагор (481 – 411) и Горгий Леонтийский (485 – 380). Именно Протагору принадлежит знаменитая фраза “Человек есть мера всех вещей: как существующих, что они существуют, так и несуществующих, что они не существуют”. Также он говорил: “О богах я не могу утверждать, ни что они существуют, ни что их нет”. Подобные высказывания не могли остаться безнаказанными, и их автора постигла судьба Анаксагора – его книги были сожжены, а сам он был вынужден покинуть Афины. Горгий, славившийся своим красноречием, известен также как автор трактата “О небытии или о Природе”, в котором отстаивал идею о непознаваемости мира.

Среди софистов имелись первоклассные математики, много сделавшие для развития этой науки, для ее преподавания и популяризации среди молодежи. Одним из них был Антифон (469 - 399), которого принято считать родоначальником математического приема, получившего наименование “метод исчерпания”. Этот метод связан с вычислением площади круга путем вписывания в него правильного многоугольника и последующего многократного удвоения числа его сторон. Согласно Антифону, это конечный процесс, завершающийся “исчерпанием” всех точек окружности и вместе с тем совпадением площади круга с площадью получившегося многоугольника. Здесь уже явно используется процедура предельного перехода, хотя и не осознается ее бесконечный характер. Его современник пифагореец Бризон строил последовательность как вписанных, так и описанных правильных многоугольников полагая, что площадь круга есть среднее арифметическое их площадей. Несмотря на кажущуюся убедительность этих построений, проблема “квадратуры круга”, поставленная софистами (хотя, по некоторым сведениям, ею занимался и Анаксагор, когда сидел в тюрьме), оставалась нерешенной и привлекала к себе все большее внимание. Важную роль в понимании этой проблемы сыграли знаменитые “луночки Гиппократа”, предложенные другим современником Антифона Гиппократом Хиосским ( ? – 430 ) (не путать со знаменитым врачом Гиппократом Косским). Он заинтересовался и занялся геометрией, потерпев неудачу в торговых делах. Продолжая “угловые” исследования Фалеса, Гиппократ разработал геометрию круга, доказав ряд теорем, вошедших во все учебники геометрии. Так он установил, что вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, а площади различных кругов относятся между собой как квадраты их диаметров.

Нуждаясь в средствах Гиппократ, следуя примеру Зенона, стал преподавать геометрию за плату, за что был исключен из пифагорейского союза. Однако через какое-то время и другие пифагорейцы последовали его примеру. Практика преподавания побудила Гиппократа составить первое систематическое руководство по геометрии со знаменитым названием “Начала”. Эти “Начала” впоследствии послужили основой первых 4-х томов “Начал” Евклида, так что Гиппократа можно считать соавтором Евклида. Наибольшую известность ему принесла задача о вычислении площадей круговых луночек, построенных на катетах равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (рис. 4.2.1.). Для определения площади двух заштрихованных луночек воспользуемся тем, что площадь полукруга, построенного на диаметре AC, вдвое больше, чем площадь полукруга, построенного на катетах AB или BC (т.к. площади кругов относятся как квадраты их диаметров). Полагая, что площадь каждого из малых полукругов есть S, большого – 2S, а треугольника ABC – S_∆ имеем S_∆+2S=2S+2σ, откуда S_∆=2σ. Позднее, уже в X в н.э. иракский математик Ибн ал-Хайсам (965 – 1039) обобщил эту теорему на случай произвольного прямоугольного треугольника, для которого S_∆=σ₁ + σ₂ (рис. 4.2.2).

Теорема Гиппократа произвела большое впечатление не только на его современников, но и на многие поколения математиков, т.к. она явно показывала, что криволинейная фигура может быть равновелика прямолинейной. В результате проблема квадратуры круга стала одной из любимых задач софистов и, в силу своей кажущейся простоты, получила широкую известность.

Не меньшей популярностью среди софистов пользовались еще две знаменитые задачи античного мира – задача об удвоении куба и задача о трисекции угла. Происхождению первой из них посвящена известная легенда о чумной эпидемии, разразившейся в Афинах в 430 г. до н.э., и о той роли, которую сыграл дельфийский оракул в этой легенде. Ввиду высочайшей суеверности людей Древнего Мира в каждом полисе Греции существовали пророки и оракулы, через которых любой смертный за определённую плату мог обратиться к “своему” богу за советом или предсказанием. Наиболее известным и высокочтимым считался дельфийский оракул, располагавшийся на золотом треножнике-ковше в храме Аполлона города Дельфы (южный склон горы Парнас). Сам город считался центром Мира и в его центральной точке лежал камень – “пуп Земли”. В качестве дельфийского оракула всегда выступала женщина, которую называли “пифией” и происхождение которой никому не было известно. Процедура пророчества представляла собой долгий и запутанный ритуал, а её высказывания имели, как правило, двоякий смысл, так что их конкретную интерпретацию давал старший жрец святилища. Характерной особенностью было то, что свои предсказания и рекомендации пифия делала в состоянии транса, который объяснялся, согласно исследованиям XX века, выходом дурманящих вулканических газов, просачивавшихся из щелей в скале, находившейся под треножником Аполлона. О мудрости прорицательницы говорилось в множестве легенд. Так якобы она назвала Сократа самым мудрым философом, на что он отреагировал словами: ”Я знаю только то, что я ничего не знаю”. По другой легенде она предупредила Юлия Цезаря, чтобы он опасался середины мартовских ид. И, как известно, он был убит именно 15 марта. Неудивительно поэтому, что вскоре после начала чумы, афиняне обратились к дельфийскому оракулу с вопросом, что они должны сделать для того, чтобы остановить эпидемию. Оракул ответил: “Удвойте жертвенный алтарь из храма Аполлона”. Так как жертвенник имел форму куба, служители просто удвоили его ребро. Однако эпидемия не прекратилась, а даже усилилась и тогда недоумевающие афиняне обратились за разъяснениями к знаменитому мудрецу Платону. Тот объяснил им, что нужно было удвоить объем кубического жертвенника, а не его ребро, построив с помощью циркуля и линейки сторону x нового куба удвоенного объема, связанную со стороной “a” исходного куба соотношением x³ = 2a³. Неизвестно, был ли изготовлен новый куб для храма или же эпидемия закончилась сама по себе, однако поставленная Платоном задача вызвала интерес у математиков, получив название “дельфийской проблемы”, и ее решением занялись самые крупные геометры. Именно эта задача с легкой руки Платона канонизировала использование циркуля и линейки как основных инструментов решения задач на построение. Сам циркуль, согласно греческой мифологии, был изобретен 12-летним племянником знаменитого Дедала Талосом еще в X в. до н.э. для нанесения круговых линий на поверхность каменных и керамических плит. Об этом факте упоминается в поэме Овидия (43 г. до н.э. – 17 г. н.э.) “Метаморфозы”:

«Первый железным узлом два железных конца съединил он,

Чтобы, когда друг от друга они в расстоянии равном,

Часть стояла одна, другая же круг обводила.»

Первый шаг в решении дельфийской проблемы сделал Гиппократ Хиосский (что, кстати, говорит о довольно позднем происхождении легенды и об искажении в ней хронологии событий, т.к. они происходили до рождения Платона но после смерти Гиппократа), который переформулировал постановку задачи так: “По отрезкам a и 2a построить такие отрезки x и y, что a / x = x / y = y / 2a”. Тогда действительно получаем т.е. x³ = 2a³. Формулировка Гиппократа важна тем, что в ней алгебраическая задача (в которых греки были не очень сильны) сводится к задаче геометрической. При этом вместо отрезка “2a” можно брать любой другой отрезок “b” согласно пропорции a / x = x / y = y / b.

Сравнительно быстро древнегреческие математики поняли, что с помощью циркуля и линейки дельфийскую задачу решить нельзя и стали искать другие подходы. Первый успех был достигнут Архитом Тарентским (см. п. 3.3.5). Затем следуют имена Менехма, Платона, Эратосфена, Никомеда, Аполлония, Филона Византийского, Герона, Диокла, Паппа Александрийского. Уже в Новое время уделяли внимание этой проблеме Виет, Декарт и Ньютон, хотя давно было понято, что в платоновой постановке она решения не имеет. Строгое доказательство этого факта было дано только в 1837г.

Последняя из 3-х знаменитых задач софистов – задача о трисекции угла – возникла, вероятно, из попыток построения правильного 9-угольника, сводящихся к построению угла 120⁰/3 = 40⁰. Как и предыдущая она не допускает решения в исходной формулировке, т.к. сводится к построению с помощью циркуля и линейки корней кубического уравнения, не выражающихся через квадратные радикалы, что неосуществимо. Поняв это, математики стали искать другие пути, наиболее перспективным из которых оказался путь использования вспомогательных критериев. Первым на этом пути оказался один из софистов Гиппий из Элиды (род. 460 г.), предложивший новую кривую – квадратрису, ставшую первой трансцедентной кривой. Ее уравнение в декартовых координатах есть а ее первая ветвь имеет вид, показанный на рис. 4.2.2.. Гиппий дал ее механическое построение как следа точки C, являющейся пересечением равномерно вращающегося радиуса OB и равномерно перемещающегося в горизонтальном направлении вертикального отрезка MN, если они начинают свое движение одновременно из точки A. Впоследствии Динострат использовал эту же кривую для решения задачи о квадратуре круга, после чего ее стали называть “квадратисой Динострата”. После Гиппия трисекцией угла занимались Архимед (используя свою знаменитую спираль), Папп Александрийский, Менехм, использовавший конические сечения, а уже в Новое время – Декарт.

Огромная значимость “софистических задач” для математики связана с тем, что они не имели простых решений, что вынуждало исследователей искать новые и нестандартные подходы, изобретать новые кривые, расширяя арсенал математических идей, методов и инструментов. В результате были открыты конические сечения (Менехм), трансцендентные кривые (Гиппий), а также некоторые кривые 3-го и 4-го порядков.

Подытоживая математические достижения софистов необходимо признать, что они первые поставили и начали решать проблему строгости математических рассуждений, тем самым заложив основы математической логики. Эта логика нашла неожиданное применение в аргументации судебных выступлений античных юристов, позволяя им строить цепочку рассуждений, приводящих к абсурду. Во многом благодаря софистам древнегреческая математика за 2 века (VI – IV вв.) сделала огромный скачок, превратившись из философии для избранных в науку, доступную образованным людям. В результате “тайное искусство” пифагорейцев распространилось по всей Греции и стало одним из важнейших предметов изучения в гимнасиях.

Резюме: Натурфилософия, апории и диалектика Зенона, начало атомистики Левкиппа-Демокрита, философия Эпикура, поэма Л. Кара. Софисты, метод исчерпания, три знаменитых задачи Античности, луночки Гиппократа, его “Начала”.