3.3.3. Геометрия

Важную роль в числовой мистике пифагорейцев играли геометрические построения. Так образуя специальный точечный треугольник – тетраду (рис. 3.3.2.а) – получаем из него первые четыре натуральных числа, в сумме равных священному числу 10=1+2+3+4. Если же просуммировать эти точки по-другому (по возрастающим треугольникам) (рис. 3.3.2.б), то получим т.н. "треугольные числа" 1, 3, 6, 10, 15. Аналогичным образом строя квадраты приходим к квадратным числам 4,9,16 = 22, 32, 42 и т.д. Далее получаем пентачисла 5, 12, 22 (рис 3.3.2.в) и т.д. Происхождение “фигурных” чисел связано с тем, что пифагорейцы выкладывали их камешками на песке, образуя те или иные фигуры. Кстати из “квадратных” чисел возник и знаменитый "треугольник Паскаля", который независимо открывался в разные времена и в разных культурах задолго до Паскаля.

Во II в. до н.э. александрийский математик Гипсикл дал общее определение «многоугольного» числа с номером , которое в современных обозначениях есть

(3.11)

Н

(3.12)

етрудно заметить, что «k-угольное» число есть не что иное, как сумма членов арифметической прогрессии с разностью и первым членом 1. Этот факт был обнаружен еще поздними пифагорейцами, а Гипсикл облек его в строгую формулу. Позднее, уже в I в. н.э. многие свойства фигурных чисел описал Никомах в своей книге «Вступление к арифметике». В частности он установил соотношение

Занимаясь также суммированием числовых рядов, он обнаружил, что куб любого числа и есть сумма и последовательных нечетных чисел. Например, 1³ =1, 2³ =3+5, 3³=7+9+11, 4³=13+15+17+19 и.т.д

Изучая фигурные числа, пифагорейцы перешли сначала к изучению многоугольников, а затем и многогранников. Они научились строить правильные многоугольники с числом сторон 3, 4, 5, 6, 8, 10, 16, а также строить углы в 30^о, 45^о, 60^о, 36^о, 15^о, 18^о, 72^о. Одним из своих высших достижений Пифагор считал построение циркулем и линейкой правильного пятиугольника, звездчатый вариант которого – пентаграмма – стал опознавательным знаком членства в пифагорейском братстве. Сохранился рассказ о том, что когда один из пифагорейцев, умирая на чужбине, не мог расплатиться с приютившим его хозяином, он перед смертью попросил того нарисовать на наружной стене дома пентаграмму, сказав: «Если когда-нибудь мимо пройдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет». И действительно, через несколько лет один странствующий пифагореец зашел к хозяину, узнал о своем умершем собрате и щедро вознаградил хозяина за уход и заботу о нем.

Интерес пифагорейцев к пентаграмме не случаен и обусловлен целым рядом ее уникальных свойств. Так она обладает поворотной симметрией 5-го порядка, т.е. той симметрией, которая наиболее распространена в живой природе. Это цветы гвоздики, незабудки, колокольчика, вишни, малины, рябины и т.д. Не исключено, что и 5-палая кисть человеческой руки также связана с этим типом симметрии. Любопытно, что эта группа симметрии не существует вне живой природы, и поэтому ее часто называют «симметрией жизни». Ввиду этого 5-конечная звезда фигурирует на флагах почти половины стран современного мира.

Пифагорейцы первыми стали считать пентаграмму символом здоровья и начали изучать ее математические особенности. В результате они выяснили, что (рис.3.3.3):

1. Лучи пентаграммы делят друг друга в золотой пропорции:

(3.13)

2. Сторона внешнего 5-тиугольника, сторона его пентаграммы и сторона внутреннего 5-ти угольника также относятся в золотой пропорции:

(3.14)

3. Лучи АВ и АС образуют “возвышенный треугольник” (у которого биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотой пропорции). Его углы есть 36⁰-72⁰-72⁰.

4. Последовательность сторон уменьшающихся правильных 5-тиугольников и их пентаграмм образует ряд золотой пропорции (геометрическую прогрессию):

(3.15)

со знаменателем

(3.16)

причем как нетрудно убедиться,

5. Отрезки пентаграммы AB = Φ, AD = 1, AE = φ, ED = φ² связаны всеми видами средних значений, известных пифагорейцам:

(3.17)

- среднее арифметическое значение

(3.18)

- средние геометрические значения

(3.19)

- среднее гармоническое значение

Н

(3.20)

а рисунке 3.3.4 приведены графики этих средних значений «с» для двух отрезков a и b, имеющих фиксированную суммарную длину. Легко показать, что среднеарифметическое значение не зависит от соотношения длин a и b, среднегеометрическое характеризуется дугой полуокружности DE радиуса R=(a+b)/2, а среднегармоническое – дугой параболы, расположенной внутри этой полуокружности.

Благодаря своим уникальным математическим пропорциям пентаграмма стала символом пифагорейского братства и любимой фигурой его членов. Со временем у числа обнаружилось много любопытных свойств, неизвестных пифагорейцам. Например , Выяснилась также его важнейшая роль во множестве задач, связанных с оптимизацией самых различных по своей природе систем техники, архитектуры, искусства и даже объектов живой природы. Поэтому число Ф по праву можно включить в группу «Великих чисел» природы — 0, 1, Ф, e, π, характеризующих фундаментальные геометрические и физические свойства Мироздания.

Пифагорейцы указали также на особую роль отношения 3:4:6 в геометрии и стереометрии. Так относятся числа сторон у правильных многоугольников, плотно покрывающих плоскость, а также числа граней, вершин и ребер у куба (6:8:12). Можно сказать, что Пифагор положил начало стереометрии, т.к. занялся изучением и построением правильных многогранников. Хотя лично ему удалось построить лишь три , известных еще Фалесу (куб, тетраэдр и додекаэдр), его последователи постепенно открыли и остальные: октаэдр открыл Гиппас, а икосаэдр открыл Тиэтет, живший гораздо позднее Пифагора. На основе этих открытий пифагорейцы построили свою систему элементов ("стихий"), из которых, по их мнению, состоят все тела Вселенной. Этих "стихий" согласно Анаксимандру было четыре – огонь, воздух, вода и земля, – и они в представлениях пифагорейцев состояли из найденных правильных многогранников, а именно: тетраэдров (огонь), октаэдров (воздух), икосаэдров (вода) и кубиков (земля). Что касается пятого элемента, построенного из додекаэдров, то впоследствии Аристотель утверждал, что из него построены все небесные тела (Луна, Солнце, планеты и звезды).

Своим великим достижением Пифагор считал доказательство знаменитой "теоремы Пифагора". Несмотря на то, что "священный треугольник" со сторонами 3-4-5 был известен еще вавилонянам и широко использовался египетскими строителями пирамид и гарпентодаптами, четкого доказательства равенства x²+y²=z² для любого прямоугольного треугольника с любым соотношением сторон не существовало. Доказательство Пифагора не сохранилось, но вероятнее всего, оно основывалось на теории пропорций (рис. 3.3.5.):

(3.21)

Сам Пифагор был настолько поражен полученным результатом, что в благодарность богам принес в жертву специально испеченного из пшеничной муки быка в натуральную величину. В историческом ракурсе это доказательство оказало огромное влияние на последующее развитие греческой математики, продемонстрировав прямую связь абстрактных математических методов с реальными объектами физического мира. В более отдаленной эпохе – эпохе Возрождения – формулы Диофанта для “вавилонских троек” (x=a²-b², y=2ab, z=a²+b², где a и b – взаимно простые) натолкнули знаменитого математика XVII века Пьера Ферма на его “Великую теорему” гласящую, что уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет целочисленных решений для натуральных значений n>2. Надо сказать, что в строительной и архитектурной практике применялись не только “точные” пифагоровы треугольники (треугольники с целочисленными сторонами), но и “приближенные”, такие как 8-9-12 (8²+9²=145, 12²=144), 7-11-17 (11²+13²=290, 17²=289). Их отличие от пифагоровых почти не поддавалось измерению.

С пифагоровыми треугольниками связаны и т.н. «героновы треугольники» (от имени Герона Александрийского), у которых как длины сторон, так и площади выражаются натуральными числами. Ясно, что любой пифагоров треугольник является одновременно героновым, однако обратное утверждение неверно. Так если соединить два пифагоровых треугольника, имеющих общий катет и образующих совместно геронов треугольник, то проводя в нем высоты, разбивающие его на два прямоугольных треугольника, не всегда удается сделать их пифагоровыми.