3.3.2. Мистика чисел

Основные достижения пифагорейского братства относятся к числовой арифметике, т.к. одной из важнейших заповедей Пифагора было его знаменитое утверждение: “Все сущее есть число!”. И сам Пифагор, и его ученики считали, что, постигая свойства чисел, они раскрывают тайны Вселенной и тем самым приближаются к богам. Сама же арифметика играла роль пифагорейской теологии. Основное внимание уделялось натуральным числам (1, 2, 3, …), причем нечетные числа считались “мужскими”, а четные – “женскими”. Разным числам приписывались различные символы и типы противоположности, а наиболее важным из них давались специальные наименования. Вот краткий перечень свойств и символов:

1 – элемент числового ряда (монада), отвечающий противоположности типа предел – беспредельное

2 – женское число (диада), тип противоположности: четное – нечетное

3 – мужское число (триада), тип противоположности: единое – многое

4 – символ честности (тетрактида), тип противоположности: правое – левое

5 – символ любви и супружества (2+3) (пентада), тип противоположности: мужское – женское

6 – символ жизни и совершенства, тип противоположности: покой – движение

7 – символ удачи и здоровья (гебдомада), тип противоположности: прямое – кривое

8 – символ дружбы и благоразумия, тип противоположности: свет – тьма

9 – символ добра и постоянства (т.к. у чисел 9n сумма цифр есть 9m), тип противоположности: квадрат – прямоугольник

10 – священное число, (декада), символ завершения

Плохими числами считались 13 (получившее в эпоху христианства название “чертова дюжина”) и особенно 17. В целом же именно нечетные числа считались счастливыми, а четные – несчастливыми. Отсюда и возник обычай дарить нечетное число цветов, а возлагать на могилу – четное. Кстати именно пифагорейцы разделили числовой ряд на четные и нечетные числа, ввели понятие простого и составного числа и разработали теорию делимости целых чисел. Пифагорейцы открыли и тот факт, что сумма ряда нечетных чисел всегда есть точный квадрат

(3.2)

Переняв у вавилонян основы алгебры, они установили следующие формулы

(3.3)

для доказательства которых использовались геометрические построения.

Любимым числом самого Пифагора была четверка, т.к. по его мнению она лежит в основе жизни Природы: в мире существует четыре стихии (земля, вода, воздух, огонь), имеется четыре стороны света (север, юг, запад, восток), четыре времени года (зима, весна, лето, осень), а у людей встречаются четыре типа характеров (холерик, сангвиник, флегматик, меланхолик). В своей каждодневной утренней молитве члены братства провозглашали : « Благослави нас, о божественное число, породившее богов и людей! О святая, святая Тетриктис! В тебе источник и корни вечно цветущей Природы!»

Самыми интересными пифагорейцы считали числа “совершенные”, т. е. те, сумма делителей которых равна самому числу. Например, число 6 имеет делители 1, 2, 3 и в то же время 6=1+2+3. Так же и число 28=1+2+4+7+14. Любопытно также постоянство суммы обратных внличин этих делителей : 1/1+1/2+1/3+1/6=2, 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2. Этим простейшим совершенным числам придавали особый смысл различные культуры и более поздних веков. Так для мусульман, использующих лунный календарь, число 28 – это период обращения Луны, а для христиан число 6 – это число дней, потребовавшихся Богу для сотворения Мира.

Совершенные числа встречаются в натуральном ряду очень редко. Третьим оказывается число 496, четвертым – 8128, пятым – 33550336 и т.д. Пифагор заметил, что у совершенных чисел есть еще одно замечательное свойство – они равны сумме отрезка ряда натуральных чисел

6=1+2+3

2

(3.4)

8=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+…+30+31

8128=1+2+3+…+126+127

Эти четыре числа были найдены еще пифагорейцами, и Евклидом которые сразу отметили ту особенность, что они оканчиваются либо на 6, либо на 8. Поздний пифагореейц Никомах Геразский в I в. н.э., который во «Вступлении к арифметике» писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного». Можно сказать, что совершенные числа делят все множество составных чисел на два класса: недостаточные (у которых сумма делителей меньше самого числа) и избыточные (у которых она превышает само число). Возникает естественный вопрос: каких чисел больше – недостаточных или избыточных? Проведенные различными авторами исследования показали, что недостаточных примерно вдвое больше, чем избыточных. Более точно их соотношение определяется дробью , где  количество избыточных чисел, не превышающих . Эта дробь лежит в пределах

(3.5)

На сегодняшний день (2008 г.) совершенных чисел известно 47, причем наибольшее из них равно 2^43112608(2^43112609-1), и все они четные. Остается открытым вопрос, существуют ли нечетные совершенные числа? Доказано лишь, что такое число не может быть меньше чем 10³⁰⁰. Остается упомянуть , что Евклид предложил, а затем Эйлер доказал, что любое четное число имеет вид 2^к-1(2^к -1) при условии, что 2^к-1 –число простое.

Кроме совершенных пифагорейцы ввели понятие “дружественных” чисел, характерных тем, что сумма делителей одного числа равна другому. Такой парой чисел являются 220 и 284, открытые самим Пифагором. Следующие аналогичные пары были найдены в XVII в П. Ферма (17296, 18416) и Р. Декартом (9363584, 9437056), хотя позднее выяснилось, что они уже были найдены арабскими математиками. После чего Эйлер составил целый список из 59 дружественных пар. Определенный мистический смысл придавался числу 7 (священное вавилонское число) и особенно числу 36=(1+3+5+7)+(2+4+6+8), олицетворявшему весь мир, и широко использовавшемуся в разнообразных клятвах и заклинаниях.

Помимо изучения свойств натуральных и рациональных чисел Пифагор много внимания уделял изучению пропорций – арифметической, геометрической и гармонической, – определив отвечающие им средние значения:

(3.6)

Смысл средних арифметических и геометрических чисел достаточно ясен. Что же касается среднего гармонического, то его смысл может быть проиллюстрирован простым примером: пусть точка проходит первую половину пути со скоростью , а вторую – со скоростью , и требуется найти среднюю скорость ее движения . Нетрудно убедиться, что

(3.7)

т.е. что есть среднее гармоническое скоростей и .

Важно отметить, что среднее гармоническое и среднее арифметическое чисел a и b образуют с ними самими геометрическую пропорцию:

(3.8)

в которой произведение средних равно произведению крайних и которую пифагорейцы назвали «музыкальной».

Если откинуть в сторону мистические интерпретации можно считать, что Пифагор и его последователи положили начало теории чисел. Теория пропорций и числовых отношений активно разрабатывалась пифагорейцами и, в конце концов, привела их к самому важному, но вместе с тем и катастрофическому открытию – понятию несоизмеримости! Согласно преданию несоизмеримость первым открыл сам Пифагор, но долго держал свое открытие в тайне. Однако истину долго утаивать невозможно, и это открытие повторил его ученик Гиппас Метапонтский, доказав несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Доказательство его было вполне пифагорейским, и было доказательством от противного. Пусть отрезки АС и АВ соизмеримы (рис. 3.3.1), т.е.

(3.9)

где m,n – целые числа, имеющие разную четность. Тогда

(3.10)

но AC² = 2AB², т.е. AC²/AB² = 2, откуда m²/n² = 2 или m² = 2n². Значит m² – четно, т.е. m = 2k, откуда m² = 4k². Но тогда 4k² = 2n² или 2k² = n², и, следовательно, n – четно, что противоречит исходному допущению.

К сожалению, Пифагор запретил своим ученикам всякое упоминание об этом открытии, подрывающем основную доктрину братства – «Все есть число». В результате они возненавидели Гиппаса, изгнали его из братства и даже соорудили ему символическую могилу. Вскоре Гиппас действительно утонул (или был утоплен) во время кораблекрушения, и пифагорейцы объяснили это карой богов. Тем не менее, последующие поколения пифагорейцев вновь и вновь возвращались к проблеме несоизмеримости. Ею занимались такие выдающиеся пифагорейцы как Архит, Феодор, Тиэтет и даже великий Евдокс! В частности, Архит показал, как можно приближенно представлять отношением больших целых чисел, Феодор обобщил этот прием на другие числа (√3, ,…., ), а Тиэтет установил иррациональность , где N – целое. Эти результаты вызвали смещение интересов греческой математики от арифметики к геометрии, показав, что геометрические фигуры имеют более общую природу, чем рациональные числа. Так геометрия постепенно заняла центральное место в греческой математике.

У пифагорейцев возникло и искусство вычислений, получившее название “логистика”. Натуральные числа они обозначали греческими буквами с черточкой сверху, причем для единиц от 1 до 9 использовались буквы ( ÷ ), для десятков – ( ÷ ), для сотен – ( ÷ ). Дробные числа обозначались дополнительным штрихом: 1/2= . Для облегчения операции умножения натуральных чисел самим Пифагором была составлена таблица умножения (“Таблица Пифагора”).