2.5. Цивилизации Индии, Европы и Америки

2.5.1. Культура Древней Индии

Оседлые земледельческие общины на территории Индостана появились еще в эпоху раннего неолита в VII тысячелетии до н.э. На их основе в III тысячелетии до н.э. зародилась древнейшая хараппская цивилизация, имевшая свою письменность (с направлением письма справа налево), городские центры (Хараппа и Мохенджо-Даро), городскую архитектуру, животноводство, меновую торговлю. По своей древности и значительности хараппская цивилизация (2500–1800 гг. до н.э.) считается третьей после цивилизаций Месопотамии и Египта. Её крупнейшие города имели прямоугольную планировку с улицами шириной до 10 м, а также были оснащены водопроводом и канализацией, которые впоследствии оказались утраченными. Пережив период своего расцвета она во второй половине III тысячелетия до н.э. стала склоняться к упадку (причиной которого, по-видимому, стала свирепствовавшая в болотистых джунглях малярия) и окончательно исчезла к XVIII веку до н.э. На смену ей в середине II тысячелетия с верховьев Ганга пришли индоарийские племена, которые и заложили современную цивилизацию Индии как единого государства с единой культурой. Языком ариев был санскрит – древнейшая форма языка индоевропейцев, от которой произошли многие современные языки, в том числе и русский. Так от слова «веда» происходит слово «ведать», а также название одной из главных священных книг «Ригведа». В ней устанавливается система «небесных» и «земных» богов, а также система «варн» среди самих индийцев.

С началом железного века жители страны, пользуясь новой техникой, сумели вырубить джунгли, осушить болота долины Ганга и создать новую экономику, основанную на скотоводстве и земледелии. В результате достигнутого экономического расцвета Индия стала, наряду с Китаем, самой населенной страной мира, о чем писал еще Геродот. Для стабилизации многомиллионного общества здесь вместо грандиозных строек Египта и Китая образовалась система сословных разделений – варн (каст). Эта система четырех каст определила как особенности социальной жизни страны, так и особенности ее интеллектуального и технического развития. В частности она предотвратила возникновение рабства, которое если и существовало, то в весьма завуалированной форме и в очень малых масштабах.

Важную роль в развитии Индии сыграло вторжение в нее в IV веке до н.э. войск Александра Македонского, которое способствовало укреплению связей индийской культуры с культурой эллинизма. Под влиянием эллинизма в Индии возникли натурфилософские концепции об основных элементах Мироздания (земля, вода, огонь, воздух, эфир), а также представления об атомистическом строении вещества, о силах, энергии и пр. В результате походов Александра Македонского во всем Средиземноморье большим спросом стали пользоваться изделия из меди, серебра и золота, изготовленные индийскими мастерами. Не меньшую известность получили и исконно индийские сельскохозяйственные культуры: сахар (от индийского “шаркара”), хлопок (родиной которого и являлась Индия), пряности, благовония, красители. Все это привело к тому, что об Индии пошла молва как о “стране чудес”. Традиции народных промыслов, зародившиеся в I тысячелетии до н.э., оказались настолько прочными, что и ныне, как и 2–3 тысячи л.н., почти в каждой индийской деревушке имеются ремесленники пяти древних профессий: горшечники, кузнецы, плотники, цирюльники и стиральщики.

Наиболее серьезные достижения индийской культуры связаны с медициной, тесно соединенной с религиозно-философской системой “хатха-йога” и с древнейшей медицинской школой и книгой «Аюроведа», излагающей «науку о долголетии». В рамках этой науки описано лечение болезней посредством растительных и минеральных средств, диет и гигиенических процедур. Однако самый важный вклад в развитие индийской и мировой медицины Средневековья сделала книга выдающегося индийского врача Сушрута “Сушрута самхита”, написанная в IV веке и посвященная искусству хирургии. В ней автор дал подробное описание 300 различных хирургических операций, 120 медицинских инструментов и 650 лекарственных средств. Огромное внимание уделено пластическим и офтальмологическим операциям. В частности, дано подробное описание операции по удалению из глазного яблока помутневшего хрусталика при катаракте, причем важное место отводится вопросам соблюдения максимальной стерильности. Уровень тогдашней индийской хирургии был самым высоким в мире. Кстати и общепринятый ныне обычай чистить зубы зародился в индийской культуре.

Менее заметны успехи Индии в технике и технологии, хотя индийские металлурги в 415 году создали и установили в окрестностях Дели знаменитую Кутубскую железную колонну высотой 7,5м, диаметром 0,4м и весом 6,25т, которая, простояв во влажном и жарком климате более 1,5 тыс. лет, абсолютно не подверглась ржавлению! Они же создали лучшую в Древнем Мире дамасскую сталь (булат), секрет которой до настоящего времени полностью не раскрыт. Европейцы познакомились с этой сталью при столкновении войск Александра Македонского с отрядами индийского магараджи Пора. Широкие и гибкие индийские мечи легко рассекали пополам македонские клинки, разрубали в воздухе тончайшие газовые платки, сверкая своими узорчатыми поверхностями. Булатная сабля легко сгибалась на 90–120 градусов и при этом не ломалась. По некоторым описаниям индийские воины нередко носили саблю вместо пояса, обматывая ею талию. К сожалению в дальнейшем (к XII в. н.э.) секрет изготовления такой стали был утрачен, хотя в XIX в. н.э. русский металлург из Златоуста Павел Петрович Аносов (1799–1848) будто бы сумел изготовить булатный клинок («русский булат»), обладавший всеми его свойствами. После смерти ученого воспроизвести его открытие никто не смог.

Помимо железа и стали индийские мастера первыми начали осваивать изделия из свинца, который из Индии широко распространился по всему Средиземноморью. Его использовали строители для крепления каменных плит и заделки швов между ними, Римляне делали из него водопроводные трубы, судовые якоря, печать и даже свинцовые книги с гравированным текстом. Возвращаясь к индийским мастерам необходимо отметить, что задолго до римлян они научились изготовлять прочный бетон.

Важно отметить представления древних индийцев о движении брошенного копья или стрелы, изложенные в VII в. до н.э. в трактате “Вайшетика-сутра”. Согласно им движение тела начинается под действием толчка или удара, создающих причину движения – напор (“вегу”). Этот напор поддерживает движение, пока не израсходуется на преодоление препятствий. В Западном мире аналогичное понятие – импетус – было введено лишь в VI в. н.э. александрийским ученым Иоанном Филопоном, а получило развитие только в XIV в.

Во всех странах Древнего Мира развитие науки шло в тесном взаимодействии с религией. Такое взаимодействие прослеживается и в Индии, где еще в доарийские времена началось формирование ведущей индийской религии – индуизма – характерной политеизмом, одушевлением объектов и сил природы, учением о переселении душ. Основную роль в божественном пантеоне играла триада богов: Брахма (бог-создатель и повелитель), Вишна (бог-охранитель) и Шива (бог-разрушитель), а также Кришна, являвший земное воплощение верховного бога Вишну. В середине I тысячелетия до н.э. возникли еще два религиозных течения – джайнизм и буддизм, – последнее из которых в III в. до н.э. было провозглашено государственной религией Индии, а затем, перешагнув ее границы, стало одной из трех ведущих мировых религий. Основателем буддизма стал уроженец Непала Сидхарта Гаутама (563–483), ставший в 29 лет бродячим философом и проповедником праведной и бездеятельной жизни. К 40 годам он достиг “полного просветления” и стал называться Буддой, т.е. просветленным. Стержневой идей буддизма стала идея «спасения», именуемая «нирваной», достичь которую можно только после завершения аскетической телесной жизни. При этом путь к нирване должен быть самостоятельным, без всякой божественной помощи, т.к. божеств просто не существует. Единственной поддержкой на этом пути могут служить морально-этические нормы праведной жизни, изложенные в двух классических поэмах Древней Индии – “Махабхарата” и “Рамаяна”, – сыгравших в ее культуре и истории такую же роль, как “Илиада” и “Одиссея” в Греции.

Наряду с литературными шедеврами появились и религиозно-философские трактаты, устанавливающие ритуальные требования джайнизма и буддизма к созданию церквей, храмов и их утвари. В священных книгах обеих религий большое внимание уделялось принципам проектирования церковных алтарей, формы которых строились в виде комбинаций квадрата, круга, полукруга, равнобедренного треугольника и пр. Наиболее почитаемый алтарь – махаведи – имел форму равнобедренной трапеции. При этом все алтари (вернее их сечения) должны были иметь одинаковую площадь, из чего возникало множество задач о квадратуре круга и кругатуре квадрата. Наиболее полно эти вопросы были изложены в классическом трактате буддизма “Шальвасутра” (“Правила веревки”), написанном в VI–V веке до н.э. Здесь уже имеются отдельные математические доказательства (или их элементы), а также решается много задач на построение квадратов, прямоугольников и равновеликих им кругов. Например, чтобы построить круг, равновеликий квадрату, т.е. сделать кругатуру квадрата, сначала описывалась вокруг него окружность, затем отрезок MN ее радиуса делился точкой P на две части в отношении MP:PN=1:2. (рис.2.5.1) После этого проводился “равновеликий” квадрату круг радиусом OP. Нетрудно подсчитать, что отсюда получается значение =18/(3+22)3,088. Это значение часто употреблялось в геометрических построениях буддийских авторов.

В отличие от “Шальвасутры”, где число  возникало из построения квадратуры круга, в книгах джайнистов строились формулы для длины окружности L=d10, откуда получалось более точное значение  = 10 ≈ 3,162. В “Шальвасутре” большое место уделено использованию пифагоровых треугольников. Так для одного из наиболее почитаемых алтарей (рис.2.5.2) помимо основного треугольника 15-36-39 (подобного треугольнику 5-12-13) могут быть построены еще полдюжины (15-12-13, 12-16-20, 15-20-25, 8-15-17, 12-35-37). Все их стороны вычислены по формулам (m²-1)/2, m, (m²+1)/2, при m=2,3,4,5,6. В этой же книге приведены следующие приближения иррациональных чисел:

(2.17)

Особенность этих и других приближений состоит в использовании аликвотных дробей с небольшим набором цифр. Излагаются в “Шальвасутре” и правила нахождения площадей треугольника, параллелограмма, трапеции, а также объемов призмы, цилиндра и усеченной пирамиды. Там же впервые появляются для расчета геометрии жертвенников системы неопределенных уравнений и указываются их решения. Например, для системы

(2.18)

дается два набора целочисленных решений

Общий метод решения линейных неопределенных уравнений был дан только в VI в. н.э. знаменитым индийским математиком Ариабхатой (476–550). Считается, что он же разработал и систематизировал позиционную десятичную систему счисления, которую в начале VII века его последователь Брахмагупта дополнил нулем. Первая официально признанная надпись, использующая нуль, была высечена на каменной табличке в городе Гвалиф (400 км к югу от Дели) в 876 году. Позиционная система вместе с нынешними цифрами попала сначала в арабские рукописи, где впервые появилась горизонтальная черта для дроби, а через них (в результате крестовых походов) – и в Европу, где эти цифры стали называть “арабскими”. Некоторые источники, правда, утверждают, что и позиционная система и нуль пришли в Индию из Шумера.

Названием нуля у индусов было слово «сунья» (пусто), обозначался он либо точкой, либо кружком, и служил просто для разделения разрядов. Арабские математики, переняв индийские цифры, перевели слово «сунья» как «сифр» (пусто), которое впоследствии уже в Европе стало обозначать любое однозначное число (в России еще в XVIII в. слово «цифра» означало «нуль»!). Когда же в XII в. в Европе появились первые учебники индийской арифметики, ее сперва считали некой «тайнописью», откуда и родилось слово «шифр». Слово же «нуль» родилось от латинского «nulla» (никакая), а его обозначение 0 от первой буквы греческого слова «онден» – ничего (в рукописях Птолемея).

Разумеется, рождение нуля назревало уже давно и в различных цивилизациях (любопытно отметить, что в христианском календаре не было нулевого года, т.к. не мог же Иисус Христос родиться в нулевом году!). Из-за этого возникали трудности с датой начала как 1-го, так и 2-го миллениумов! Однако именно индийские математики первые поняли, что нуль – это не просто знак разделения разрядов, а почти нормальное число, с которым можно производить все арифметические действия, кроме деления. Особое положение нуля в ряду натуральных чисел связано с тем, что его как бы нет в окружающем человека мире и без него легко можно обойтись в устном счете. Однако он необходим для записи чисел и операций над ними. В современной математике и физике появление нуля в знаменателе означает возникновение т.н. «сингулярности», т.е. сигнализирует о необходимости перехода к качественно новой математической модели объекта или явления. Так что нуль – это своеобразное окно в новые пространства, новые измерения, к новым эффектам.

Не менее важным новшеством индийской арифметики стали вычислительные операции с отрицательными и иррациональными числами, на что так и не решились античные математики. Для выполнения таких вычислений Ариабхата предложил способы извлечения корней второй и третьей степени из чисел, и дал им название “базис”, которое после перевода на арабский звучало как “корень” (VIII век), а на латыни – как “радикал” (XII век). Также независимо от античных авторов он высказал гениальную догадку о суточном вращении Земли и даже о ее вращении вокруг Солнца (в сочинении “Ариабхатам” , написанном в 499 г.), что был резко осужден своими современниками, – учеными и жрецами. Однако этот вклад в индийскую астрономию был высоко оценен его потомками: в 1975 г. с советского космодрома “Байконур” был запущен индийский спутник “Ариабхата”.

Ш

(2.19)

ирокую известность в средневековой математической литературе приобрела “задача о курьерах”, сформулированная и решенная Ариабхатой. В ней требуется найти время, через которое встретятся два курьера (у Ариабхаты – два небесных светила), движущиеся либо навстречу, либо вдогонку друг другу. Ариабхата дает очевидное ныне решение

,

где V₁, V₂ – скорости курьеров, а S – начальное расстояние между ними. Трудность восприятия этих решений современниками Ариабхаты вызывалась тем, что еще не сформировалось само понятие скорости. После Ариабхаты в Индии началось формирование понятий не только равномерного, но и равноускоренного и равнозамедленного движения.

В

(2.20)

торым по значимости древнеиндийским математиком считается Брахмагупта (598–660г.г.), который в своем сочинении «Пересмотр системы Брахмы» (628) независимо от китайцев установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел и действий с дробями, а также дал современную формулу для решения квадратного уравнения. При этом он активно использовал операции с нулем, пытаясь даже ввести операцию деления на нуль. Также он рассматривал арифметическую прогрессию и получил формулу для ее суммы. Вершиной его достижений стало решение неопределенного уравнения 2-й степени ax² + b = y² (уравнение Пелля). Однако полученная им формула для площади четырехугольника (именуемая ныне формулой Герона) со сторонами a, b, c, d и полупериметром p

,

оказалась верна только для циклических, т.е. вписанных в окружность четырехугольников. Также им получены формулы для вычисления площади треугольника по его двум сторонам и радиусу описанного круга, формулы для суммы арифметической прогрессии. Для π он использовал значение π = .

В Индии зародились и основные тригонометрические функции и термины – “синус” и “косинус”, – возникшие из индийского слова “архаджива” (полухорда), введенного в употребление в VI веке Варахамихарой вместо греческой хорды для обозначения соответствующего угла. В арабском языке слово “джайб” означает впадину или пазуху, поэтому при его последующем переводе на латынь появился термин “синус” (пазуха) и “косинус” (дополнение к синусу). Именно в работах индийских математиков появились и широко использовались основные тригонометрические соотношения:

(2.21)

, , ,

а также формулы для кратных углов , для n=2, 3, 4,…

Основные труды Ариабхаты и Брахмагупты, в которых помимо новой системы счисления и новых терминов излагались правила решения квадратных уравнений и операции с иррациональными и отрицательными числами, были переведены на арабский язык в VII веке. Ряд результатов индийских математиков вошел впоследствии в знаменитый алгебраический трактат узбекского ученого Аль-Хорезми “Краткая книга об исчислении ал-джебр и ал-мукабалы”, заложивший основы современной алгебры. Его перевод на латынь был сделан в XII веке, после чего в Европе начался постепенный переход к десятичной позиционной системе и становление современной тригонометрии и алгебры.

Третьим великим индийским математиком был Бхаскара II (1114–1185 г.г.), автор книги “Венец науки” (1150г.), где он установил правила умножения и деления отрицательных чисел, признал существование двух знаков у квадратного корня, рассмотрел ряд задач алгебраической геометрии и диофантова анализа, а также поставил и решил некоторые задачи комбинаторики. Им установлены тождества и равенство

(2.22)

а также найдено значение sin18˚=(√5-1)/4. Наиболее широкую известность получил его трактат «Лилавати», который в течение столетий служил руководством по арифметическим операциям, по метрологии, извлечению корней, суммированию рядов и пр. Этот трактат из 13 книг, написанных в стихотворной форме, автор посвятил своей дочери (или, возможно, жене) по имени Лилавати.

Фактически именно индийские математики еще в XVI веке положили начало современной пригонометрии, перейдя от громоздких птолемеевых хорд к синусам и построив полную систему точных тригонометрических тождеств и таблиц.

Уже в эпоху европейского Возрождения, но еще до работ Ньютона, Грегори и Лейбница, индийские математики сумели построить степенные и другие ряды для арктангенса, синуса и косинуса, нашли также числовые ряды для π. Большое внимание уделялось ими различным прогрессиям и вычислению их сумм. Одна из таких задач – задача о награде изобретателю шахмат – получила мировую известность и до сих пор фигурирует в популярной литературе. Согласно легенде когда изобретатель шахмат Сету продемонстрировал свою игру радже Шераму, тот в восхищении предложил автору любую награду. Сету, подумав, попросил, чтобы ему выдали за первую клеточку шахматной доски одно пшеничное зернышко, за вторую – два, за третью 4, затем 8, 16 и т.д. Когда же придворные математики сосчитали необходимое число зерен они пришли в ужас – число это оказалось столь огромным, что столько зерна не нашлось бы во всех житницах мира. И, действительно, оно равно > , что составляет примерно 1 триллион тонн.

Возникающие в подобных задачах сверхбольшие числа всегда будоражили воображение индийцев и многие из этих чисел имели свое наименование. Упоминается о феноменальной памяти Будды на сверхбольшие числа, для которых он сам придумывал наименования и строил из них числовые системы вплоть до 10⁵⁴ (а по некоторым данным даже до 10⁴²¹). Для сравнения можно напомнить, что греки не имели даже названий для чисел свыше 10⁴ (мириады), а римляне – свыше 10³ (милле). В завершение разговора об индийской математике стоит привести фразу Брахмагупты: “Как Солнце затмевает своим блеском звезды, так и ученый может затмить славу других, предлагая, а тем более, решая математические задачи”.