15.1.3. Лагранж –гений аналитической механики

Завершающие шаги в формировании основ классической механики были сделаны ещё одним выдающимся французским учёным Жозефом Луи Лагранжем (1736 – 1813), родившимся в Италии (г. Турин) и имевшим итало-французское происхождение (его дедом был французский офицер, а бабушкой – итальянка). В Италии его называли Джузеппе Луиджи, а сам он со временем выбрал французское подданство и писал труды на французском языке. Он был 11-м ребёнком у своих состоятельных родителей и только он выжил, став их единственным наследником. Однако к его совершеннолетию отец разорился, что не очень опечалило Жозефа, который впоследствии вспоминал: «Если бы я наследовал состояние, мне, вероятно, не пришлось бы связать свою судьбу с математикой». В школе Жозеф прилежно изучал древние языки и рано начал читать труды Евклида и Архимеда. Однако окончательный поворот его интересов в сторону математики произошёл после прочтения книги английского астронома Э. Галлея «О преимуществах аналитического метода», из которой он понял огромные возможности методов дифференциального и интегрального исчисления, увлёкся ими и уже с 16 лет сам стал преподавать математику в артиллерийском училище Турина. В 18 лет он уже автор учебника и профессор, причём многие ученики были старше его по возрасту. Наиболее способных из них он объединяет в некое научное сообщество, которое в дальнейшем преобразовалось в известную Туринскую академию, начавшую в 1759 выпуск трудов «Философско-математические сборники частного Туринского научного общества» («Туринские записки»).

В первом томе этих «Записок» молодой профессор опубликовал 300-страничную статью «Исследование о природе распространения звука», а во втором – мемуар «О способах нахождения наибольших и наименьших значений интегралов». В нём он впервые ввёл удачное обозначение δ для вариации функции, а также предложил аналитический метод вычисления вариации интеграла посредством его интегрирования по частям, используя правила дифференциального исчисления. Ещё до этой публикации в письме президенту Берлинской АН, Эйлеру 19-летний Жозеф изложил свои идеи по совершенствованию нового метода (который Эйлер предложил назвать «вариационным исчислением»). Завязавшаяся в 1755 г. переписка с Лагранжем о новых задачах и методах очень заинтересовала Эйлера, возродив у него интерес к экстремальным задачам. В 1756 г. он делает два сообщения в Берлинской академии об этих задачах и об успехах молодого Лагранжа в их решении. В результате 23-летний Лагранж был избран иностранным членом этой академии даже до того, как его мемуар вышел в свет. Это было большой честью для начинающего учёного и очень помогло его дальнейшей карьере. Сам же Эйлер, возвратившись к экстремальным задачам благодаря Лагранжу, сумел также получить ряд интересных и весьма простых решений, однако он задержал их публикацию, дав возможность Лагранжу официально утвердить его приоритет. Сразу же после выхода в свет «Туринских записок» за 1761 – 1762 гг., в которых излагались идеи и подходы молодого Лагранжа, Эйлер в своей публикации 1764 г. пишет: «После того, как я долго и бесплодно трудился над решением этого вопроса [построением аналитического аппарата вариационного исчисления], я с удивлением увидел, что в «Туринских записках» задача эта решена столь же легко, как и счастливо. Это прекрасное открытие вызвало у меня большое восхищение, что оно значительно отличается от данных мною методов и значительно их превосходит по простоте». Это высказывание величайшего математика Европы лишний раз свидетельствует о его глубочайшей научной этике и отеческой благожелательности к молодым коллегам.

Не менее важную роль в механике сыграла и первая – «акустическая» – статья Лагранжа в «Записках», где автор рассмотрел и прокомментировал популярную в то время задачу о колебаниях струны. В конце 50-х годов её исследовали три крупнейших европейских механика – Эйлер, Даламбер и Д. Бернулли – и все они дали ей различную трактовку. Так Даламбер полагал, что как начальное состояние, так и дальнейшее движение струны должны описываться единым аналитическим выражением. Эйлер считал, что в этом качестве может служить любая непрерывная (обобщённая) функция, а Д. Бернулли утверждал, что произвольные колебания струны есть суперпозиция гармонических колебаний (во что не верили ни Даламбер, ни Эйлер). Лагранж в своём исследовании представил струну как предельное состояние нити с бусинками, если число бусинок n → ∞. Эта дискретная модель существенно упрощает задачу и позволяет подтвердить правильность выводов Эйлера и Д. Бернулли. И даже Даламбер был вынужден сказать Лагранжу: «До всречи, сударь; Вы достойны, если я не ошибаюсь, играть великую роль в науках, и я аплодирую началу Вашего успеха».

Сенсационные статьи молодого профессора поставили 23-летнего учёного в один ряд с крупнейшими математиками Европы. Неудивительно поэтому, что он обратился к актуальным проблемам небесной механики, находившимся «на острие» научной мысли того времени. Обратившись к объявленному Парижской АН конкурсу (1764) на тему о теоретическом обосновании законов движения Луны («законов Кассини»), Лагранж публикует работу «О либрации Луны», где даёт решение поставленной задачи и заслуженно получает Большую премию ПАН. Через 2 года в 1766 г. он получил следующую Большую премию ПАН за работу «О теории спутников Юпитера», в которой исследовал задачу 6 тел (Солнце, Юпитер и его 4 галилеевых спутника) и сумел объяснить большинство неправильностей в их движении. Аналогичные премии Лагранж получал и далее в 1772, 1774, 1778 г.г. за исследования различных задач небесной механики, связанных с движениями Луны, комет и задачей 3-х тел, в которой он обнаружил существование точек относительного равновесия – «точек Лагранжа». Позднее, уже в начале XX века в этих точках были обнаружены т.н. «троянцы» – астероиды юпитеровой группы, образующие с Солнцем и Юпитером вершины равносторонних треугольников. Наиболее серьёзные успехи были достигнуты Лагранжем в создании теории возмущенных движений небесных тел, играющих кардинальную роль в динамике всей Солнечной системы и её подсистем. С этой целью им был разработан знаменитый метод анализа возмущённых движений, получивший название «метод вариаций произвольных постоянных» и со временем ставший основным методом анализа возмущений. Хотя корни этого метода восходят к работам Эйлера по небесной механике, именно Лагранж довёл его до совершенства, сделав его рабочим инструментом для самых различных задач и приложений. Так в 1776 г. он с его помощью обобщил знаменитую теорему Лапласа об устойчивости Солнечной системы, включив в неё возмущения эксцентриситетов и наклонений планетных орбит и доказав их долгопериодический, а не вековой характер.

В 1766г. 30-летний Лагранж уже знаменитый учёный и Эйлер рекомендует королю Фридриху II пригласить его на свой пост президента Берлинской АН (т.к. сам он решил возвратиться в Петербург по настоятельной просьбе императрицы Екатерины II). Король, у которого отношения с Эйлером были весьма натянутыми, тем не менее, прислушался к его рекомендациям и направил Лагранжу приглашение, в котором «скромно» отметил, что «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». Лагранж, уже выросший из рамок провинциального Турина, принял это предложение, невзирая на уговоры короля Сардинии не покидать его королевство. Устроившись в Берлине он вызвал из Турина свою дальнюю родственницу и женился на ней, о чём в письме Даламберу написал: «… надо было, чтобы кто-нибудь имел попечение обо мне и моих делах». К сожалению, случилось так, что его молодая жена вскоре заболела туберкулёзом, и ему самому пришлось ухаживать за ней вплоть до её кончины, которую он переживал очень тяжело.

За свой 20-летний берлинский период жизни Лагранж как истинный учёный старался не слишком утруждать себя административными заботами, отдавая своё время и силы актуальным задачам теории чисел и методам вычисления действительных корней алгебраических уравнений высших степеней. Итогом этих исследований стал его трактат «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (1771) объёмом более 200 страниц, ставший на столетие настольной книгой многих алгебраистов и вычислителей. Предложенные в нем методы выделения действительных корней алгебраических уравнений и их аппроксимации целыми дробями стали важным прорывом в вычислительной математике, а построенные резольвенты для уравнений высших степеней стимулировали дальнейшие исследования Абеля, Руффини и Галца.

В 1773 г. за 2 года до появления эйлеровых уравнений движения твёрдого тела Лагранж исследует и строит интегралы задачи о движении «волчка Лагранжа» – тяжёлого симметричного тела, ось симметрии которого проходит через точку подвеса. Через 150 лет эта задача станет центральной задачей целой отрасли приборостроительной техники – техники и теории гироскопических приборов.

Центральное же место в его творчестве в этот период занимала работа над знаменитой книгой «Аналитическая механика» (в двух томах), вышедшей в свет в 1788 г. – через 101 год после выхода ньютоновских «Начал». Первые замыслы этой книги возникли у автора ещё в его первых мемуарах туринского периода, когда он, столкнувшись с постановкой и решением ряда механических задач, отчётливо увидел, что в них проявляется невероятная эффективность и изящество методов математического анализа. И он задумал создать некий «сплав» механики и математического анализа, органически синтезирующий обе дисциплины в единый рабочий аппарат, позволяющий среднему специалисту решать те задачи и проблемы механики, которые ранее были доступны лишь гениальным математикам типа Эйлера и Даламбера. В основу своей идеи Лагранж положил замечательные результаты эйлеровых трактатов «Механика», «Метод нахождения кривых линий» и «Теория движения твёрдых тел», а также «Динамики» Даламбера. Однако основную часть книги составляли его собственные концепции и открытия, связанные с унификацией подходов к задачам статики и динамики твёрдых тел и жидкостей.

Записывая принцип Даламбера в форме общего уравнения динамики (частным случаем которого являются уравнения статического равновесия), автор на основе принципа возможных перемещений получает свои знаменитые уравнения движения механической системы – уравнения первого и второго рода. Последние из них оказались настолько простыми и удобными, что стали сенсацией в механике и смежных с ней дисциплинах. Оказалось, что для составления этих уравнений нет необходимости рассматривать сложную геометрию силовых взаимодействий, а достаточно построить выражения для кинетической энергии Т (живой силы) и потенциальной П. Кстати, именно Лагранж окончательно узаконил роль и место потенциальной энергии в задачах поиска равновесия и анализа их устойчивости (теорема Лагранжа-Дирихле). Что касается уравнений II рода, имеющих вид

(15.4)

(здесь q и – обобщённая координата и скорость), которые иногда называют «жемчужиной аналитической механики», то они впервые были выведены и опубликованы Лагранжем в «Туринских записках» ещё в 1760 году, когда автору было всего 24 года! По-видимому, именно этот ранний успех и вдохновил молодого профессора на идею написания революционной книги по механике, которую он реализовал только через 28 лет.

Немалое место в книге уделено теории геометрических (голономных в современной терминологии) связей, определению их реакций и их учёту в уравнениях движения (которые ныне именуются как «уравнения Феррерса»). Здесь же строится и теория малых колебаний механических систем, хотя в одном из примеров (описывающем малые колебания сферического маятника) автором была допущена знаменитая «ошибка Лагранжа», состоящая в том, что он прогнозировал обязательную неустойчивость колебаний при наличии кратных мнимых корней характеристического полинома. Эта ошибка была замечена лишь 90 лет спустя, почти одновременно немецким математиком К. Вейерштрассом и русским математиком О. И. Сомовым. Однако с тех пор эта ошибка широко эксплуатируется в педагогической практике благодаря её наглядности и поучительности.

Не перечисляя множества новых идей, понятий, методов украшающих «Аналитическую механику» (метод вариации произвольных постоянных, принцип наименьшего действия, знаменитый «случай Лагранжа» движения твёрдого тела,а также введение в обиход таких понятий,как "обобщенные координаты" и "силы".), можно констатировать, что она завершила формирование основ классической механики, сделав её самостоятельной дисциплиной, как для профессионалов-математиков, так и для студентов университетов. Сам Лагранж с гордостью писал в предисловии, что благодаря широчайшему использованию математического анализа для постановки и решения разнообразных задач механики отпала всякая необходимость в чертежах и рисунках. В силу это: «Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа и будут мне благодарны за то, что этим путём я расширил область его применения». Это высказывание маститого учёного не осталось незамеченным – с той поры механика в университетах стала изучаться на математических и механико-математических факультетах. Стоит заметить, что дальнейший ход развития науки и техники (особенно в XX веке) начал стимулировать возвращение механики в лоно физических или, точнее физико-механических дисциплин, хотя роль и масштаб применения аналитических методов в механике традиционно остаются очень большими. Поэтому совершенно справедливо У. Р. Гамильтон впоследствии называл трактат Лагранжа «математической поэмой», считая, что он входит в «золотую» серию научной литературы.

После кончины в 1783 г. Эйлера и Даламбера Лагранж заслуженно становится «первым геометром Европы» (геометрами тогда, следуя древнегреческой традиции, называли всех математиков), хотя уже поднималась звезда нового выдающегося французского математика – Лапласа. Когда же в 1786 г. скончался покровитель Лагранжа король Фридрих II, Лагранж решил принять приглашение короля Людовика XVI и переехать в Париж, где он немедленно был избран действительным членом ПАН, несмотря на отсутствие вакансии. Ему была предоставлена удобная квартира в Лувре, в которой он жил до 1793 г. (когда вспыхнувшая революция многое изменила в жизни его самого и жизни его коллег). В 1792 г. Лагранж вторично женился, на дочери своего друга, астронома Лемонье, и этот брак оказался очень благополучным.

Возможно, что этот брак, а также начавшаяся вскоре революция оказали стимулирующее воздействие на великого учёного, который за предшествующие 20 лет стал постепенно отходить от занятий наукой. Ещё в 1772 г. он написал Даламберу: «Не кажется ли Вам, что высшая геометрия близится отчасти к упадку, её поддерживаете только Вы и Эйлер». Причиной такого пессимистического взгляда на науку был характерный для той эпохи отрыв математики от практических приложений, обусловленный, скорее всего, отсутствием в обществе профессионального инженерного корпуса. И даже когда «Аналитическая механика» вышла в свет (став впоследствии необходимым атрибутом инженерного образования), сам автор около 2 лет не брал её в руки.

В предреволюционном Париже Лагранж попал в обстановку бурной общественной и интелектуальной жизни, процветающих научных кружков и обществ, в которых встречались учёные разных поколений и разной специализации. В результате у Лагранжа появились новые друзья, наиболее близким из которых стал знаменитый химик Лавуазье (1743 – 1794). Позднее, уже после гибели Лавуазье в революционной мясорубке Лагранж сказал, что именно Лавуазье сделал химию «такой же лёгкой, как алгебра».

Начало революции было встречено многими учёными с энтузиазмом т.к. они впервые почувствовали реальную возможность своего влияния на жизнь страны. Некоторые из них вошли в муниципалитет, другие в Учредительное и Законодательное собрания, математик Лазарь Карно возглавил оборону Франции, астроном Байи стал мэром Парижа, а геометр Монж – морским министром. Научная деятельность многих учёных начала приобретать прикладной характер, но Лагранж старается не участвовать в разразившейся эйфории, осторожно ожидая решения своей участи. Дело в том, что по закону 1793 года все иностранцы должны были покинуть Францию, однако для Лагранжа решением Комитета общественного спасения было сделано персональное исключение – ему разрешили остаться в Париже и заняться изучением текущих проблем новой власти. И он включился в эту работу, занявшись оценкой требуемых запасов продовольствия, расчётом предельной силы пороха в пушечном стволе, подготовкой реформы системы мер и весов.

А тем временем спираль революции раскручивалась по своим законам и вскоре докатилась до фазы террора, в котором погибли такие фигуры, как Байи и Кондорсе, а Лавуазье был гильотинирован (1794). Узнав об этом, Лагранж сказал: «Нужен был один момент, чтобы снести эту голову, но, может быть, и сотни лет не хватит, чтобы появилась подобная ей». Несмотря на такие высказывания великого учёного новая власть относилась к нему вполне терпимо – ему была назначена специальная пенсия и он был включён в число членов Комитета изобретений и патентов.

Однако более серьёзное значение для страны имела его деятельность в качестве председателя Комитета по усовершенствованию метрической системы мер и весов. Хорошо известными результатами работы этой комиссии стали эталоны метра (как 1/40·10⁶ длины парижского меридиана) и килограмма (вес 1 дм³ воды при нулевой температуре). Важной заслугой Лагранжа на этом поприще можно считать то, что в арифметике он отстоял 10-тичную систему счисления вместо предлагавшейся многими членами комиссии 12-тиричной. Любопытно что и здесь необошлось без очередного революционного перегиба:новая власть решила "усовершенствовать" шкалу отсчета времени путем деления суток на 10 часов, а часа — на 100 минут. Но новая шкала продержалась недолго ( до 1806 г.) , а ее памятниками стали образцы революционных часов с десятичными циферблатами (сегодня они — ценный антиквариат)

Наиболее же интересной и полезной как для самого Лагранжа, так и для Франции оказалась его педагогическая служба во вновь организованных учебных заведениях – Нормальной школе для подготовки учителей и Политехнической школе для подготовки инженеров. Дело заключалось в том, что во Франции конца XVIII века при высочайшем в Европе (да и в мире) уровне математических и естественных наук всё более остро ощущалась нехватка инженеров, т.е. специалистов, способных соединять научные и достижения с технико-технологическими потребностями молодой промышленности. Новая революционная власть отчётливо ощущала эти потребности, о чём свидетельствует знаменитый лозунг Дантона: «После хлеба просвещение есть важнейшая потребность народа». Вместе с тем нельзя забывать о том, что согласно некоторым источникам, после зачтения смертного приговора революционного суда великому химику Лавуазье один из судей произнёс: «Республике не нужны учёные». Уместно привести и саркастические строки Марата о членах ПАН: «Взятая как коллектив, Академия должна быть рассматриваема как общество людей суетных, гордых тем, что собираются два раза в неделю. Она делится на несколько групп … и на своих публичных и частных заседаниях эти группы никогда не упускают случая обнаружить признаки скуки и взаимного презрения». Неудивительно поэтому, что Лагранж старался дистанцироваться от обеих сторон революционной борьбы.

Получив приглашение на должность профессора математики сначала в Нормальную школу (1795), а затем и в Политехническую (1797), он с увлечением начал осваивать педагогическую деятельность, сопровождая её составлением необходимых учебных пособий. И эти учебные пособия («Теория аналитических функций» (1797) и «Лекции по исчислению функций» (1801)) оказались настоящими жемчужинами не только в учебной, но и в научной литературе. Учитывая крайне низкий уровень образования своих слушателей, автор постарался как можно реже использовать концепции «бесконечно малых величин», заменяя их формальными алгебраическими операциями, ведущими к требуемой цели. На этом пути ему удалось существенно упростить изложение многих вопросов связанных с разложением аналитических функций в степенной ряд и подготовить почву для будущей теории аналитических функций комплексного переменного, созданной через 50 лет К. Вейерштрассом. Здесь же впервые появился и знаменитый метод нахождения «условного экстремума» функции нескольких переменных f(x, y) при наличии соотношений связи типа φ(x, y) = 0. Предложенная автором «функция Лагранжа» F = f + λφ, стационарные точки которой и определяют искомые экстремумы, оказалась чрезвычайно эффективным инструментом решения самых разнообразных задач теории оптимизации, а формально входящие в неё «множители Лагранжа» λ приобрели отчётливый физический и механический смысл.

Что касается отношений Лагранжа с быстросменяющимися представителями революционной власти, то здесь его «учёное затворничество» сыграло большую роль – все они уважительно и даже доброжелательно относились к учёному, несмотря на то, что когда-то он был фаворитом Марии Антуанетты. Поэтому когда декретом Конвента было постановлено изгнать из Франции тех, кто родился вне её пределов, для Лагранжа, родившегося в Италии, было сделано исключение. Когда же к власти пришёл молодой и амбициозный генерал Наполеон Бонапарт, сам ценивший и понимавший математику, положение Лагранжа ещё более упрочилось – он становится графом, сенатором (вместе с Лапласом и Монтенем), а также кавалером ордена Почётного Легиона. И в дальнейшем император в редкие свободные минуты встреч с Лагранжем любил обсуждать с ним самые острые проблемы страны и роль науки, которую ценил и поддерживал. Самого Лагранжа он однажды назвал "Хеопсовой пирамидой математической науки".

Последние годы жизни он отдал переработке и расширению своей "Аналитической механики", хотя отчётливо понимал приближение своей кончины от неизлечимой болезни. А непосредственно перед смертью он, как истинный учёный, стал пересказывать пришедшим к нему друзьям свои последние мысли и ощущения: "Я почувствовал, что умираю; моё тело ослабело мало-помалу, мои духовные и физические способности незаметно угасают; я с любопытством наблюдаю постепенный прогресс уменьшения сил, и я достигну конца без сожаления, без печали, ибо спуск очень отлогий… Я завершил свой путь, я снискал некоторую известность в математике. Я не питал к кому-либо злобы, я никому не сделал плохого, и я хочу кончить свой путь…" Смерть настигла его рано утром 10.04.1813 на 78 году жизни. Память о Лагранже как великом математике, искреннем гуманисте и отзывчивом человеке запечатлена не только во множестве земных названий и произведений, но и на небесах ­­­­ – его имя носит один из кратеров на видимой стороне Луны, которой он посвятил целую серию своих математических исследований.